Question

20．已知雙曲線M的焦點F₁，F(xiàn)₂在x軸上，直線$\sqrt{7}x+3y=0$是雙曲線M的一條漸近線，點P在雙曲線M上，且$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}=0$，如果拋物線y²=16x的準線經(jīng)過雙曲線M的一個焦點，那么$|\overrightarrow{P{F_1}}|•|\overrightarrow{P{F_2}}|$=（　�。�

• A． 21
• B． 14
• C． 7
• D． 0

Answer 1

分析 求得拋物線的焦點，可得c=4，即a²+b²=16，由漸近線方程可得$\frac{a}$=$\frac{\sqrt{7}}{3}$，解得a，b，運用雙曲線的定義和直角三角形的勾股定理，化簡整理，即可得到所求值．

解答 解：拋物線y²=16x的準線為x=-4，
由題意可得雙曲線M的一個焦點為（-4，0），
設(shè)雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0），
可得c=4，即a²+b²=16，
直線$\sqrt{7}x+3y=0$是雙曲線M的一條漸近線，
可得$\frac{a}$=$\frac{\sqrt{7}}{3}$，
解得a=3，b=$\sqrt{7}$，
可設(shè)P為右支上一點，由雙曲線的定義可得
|PF₁|-|PF₂|=2a=6，①
由勾股定理可得，|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²=4c²=64，②
②-①²，可得|PF₁|•|PF₂|=14．
故選：B．

點評 本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，考查勾股定理和拋物線的方程和性質(zhì)的運用，以及運算能力，屬于中檔題．