Question

11．已知定義在（0，+∞）上的函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}-1，\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0＜x≤1\\-{x^2}+2ax-（2a-1），\;\;\;x＞1\end{array}\right.$（其中$a＞\frac{3}{2}$），
（Ⅰ）若當(dāng)且僅當(dāng)b∈（0，1）時(shí)，方程f（x）=b有三個(gè)不等的實(shí)根，求a的值；
（Ⅱ）若函數(shù)g（x）=|f（x）|在$[\frac{1}{2}，3a-4]$上的最大值為M（a），求M（a）的表達(dá)式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）作出函數(shù)f（x）的圖象，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．
（Ⅱ）作出g（x）的圖象，討論a的取值，結(jié)合函數(shù)最值的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）由題意f（1）=0，當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）=-x²+2ax-（2a-1）=-（x-a）²+（a-1）²=-（x-1）[x-（2a-1）]，
所以f（2a-1）=0，f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，a）上單調(diào)遞增，在（a，+∞）上單調(diào)遞減，
由于當(dāng)且僅當(dāng)b∈（0，1）時(shí)，方程f（x）=b有三個(gè)等的實(shí)根，
故f（a）=（a-1）²=1，解得a=2．

（Ⅱ）
（1）當(dāng)$\frac{1}{2}＜3a-4≤1$，即$\frac{3}{2}＜a≤\frac{5}{3}$時(shí)，g（x）在$[\frac{1}{2}，3a-4]$上單調(diào)遞減，
所以$M（a）=g（\frac{1}{2}）=1$；
（2）當(dāng)1＜3a-4≤a，即$\frac{5}{3}＜a≤2$時(shí)，g（x）在$[\frac{1}{2}，1]$上單調(diào)遞減，在（1，3a-4]上單調(diào)遞增，
故$M（a）=max\{g（\frac{1}{2}），g（3a-4）\}=max\{1，-3{a^2}+14a-15\}$，
令h（a）=-3a²+14a-15在$（\frac{5}{3}，2]$上為增函數(shù)，故h（a）≤h（2）=1，所以$M（a）=g（\frac{1}{2}）=1$；
（3）當(dāng)a＜3a-4≤2a-1，即2＜a≤3時(shí)，g（x）在$[\frac{1}{2}，1]$上單調(diào)遞減，在（1，a]上單調(diào)遞增，在（a，3a-4]上單調(diào)遞減，
故$M（a）=max\{g（\frac{1}{2}），g（a）\}=max\{1，{（a-1）^2}\}$，
而當(dāng)2＜a≤3時(shí)，（a-1）²＞1，故M（a）=g（a）=（a-1）²；
（4）當(dāng)3a-4＞2a-1，即a＞3時(shí)，g（x）在$[\frac{1}{2}，1]$上單調(diào)遞減，在（1，a]上單調(diào)遞增，在（a，2a-1]上單調(diào)遞減，在（2a-1，3a-4]上單調(diào)遞增，$g（\frac{1}{2}）=1$，g（a）=（a-1）²，
g（3a-4）=3a²-14a+15，當(dāng)a＞3時(shí)，$g（a）＞g（\frac{1}{2}）$，
故M（a）=max{g（a），g（3a-4）}=max{（a-1）²，3a²-14a+15}，
①當(dāng)（a-1）²≥3a²-14a+15，即$3＜a≤3+\sqrt{2}$時(shí)，M（a）=（a-1）²；
②當(dāng)（a-1）²＜3a²-14a+15，即$a＞3+\sqrt{2}$時(shí)，M（a）=3a²-14a+15，
綜上所述：$M（a）=\left\{\begin{array}{l}1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{3}{2}＜a≤2\\{（a-1）^2}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2＜a≤3+\sqrt{2}\\ 3{a^2}-14a+15\;\;\;a＞3+\sqrt{2}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用以及根的個(gè)數(shù)的判斷，利用數(shù)形結(jié)合以及分類(lèi)討論的思想是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．