Question

18．在等比數(shù)列{a_n}中，a₁+a₆=33，a₃•a₄=32，且a_n+1＜a_n（n∈N^*）
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若T_n=lga₁+lga₂+…+lga_n，求T_n的最大值及此時n的值．

Answer 1

分析 （1）利用等比數(shù)列的通項公式及其性質(zhì)即可得出；
（2）由（1）可得lga_n=6-n．再利用等差數(shù)列的前n項和公式可得T_n，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，∵a₁+a₆=33，a₃•a₄=32，
∴a₁a₆=32，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+{a}_{6}=33}\\{{a}_{1}{a}_{6}=32}\end{array}\right.$，且a_n+1＜a_n（n∈N^*），
解得a₁=32，a₆=1，
∴32q⁵=1，解得q=$\frac{1}{2}$．
∴a_n=$32×（\frac{1}{2}）^{n-1}$=2^6-n．
（2）由（1）可得lga_n=6-n．
∴T_n=lga₁+lga₂+…+lga_n=5+4+…+（6-n）=$\frac{n（5+6-n）}{2}$=$-\frac{1}{2}{n}^{2}+\frac{11}{2}$n=$-\frac{1}{2}（n-\frac{11}{2}）^{2}$+$\frac{121}{8}$．
∴當n=5或6時，T_n取得最大值為15．

點評 本題考查了等比數(shù)列與等差數(shù)列的通項公式前n項和公式、二次函數(shù)的單調(diào)性、對數(shù)的運算性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．