Question

（2013•煙臺(tái)二模）如圖，平面ABCD⊥平面ADEF，其中ABCD為矩形，ADEF為梯形，AF∥DE，AF⊥FE，AF=AD=2DE=2，M為AD中點(diǎn)．
（Ⅰ） 證明MF⊥BD；
（Ⅱ） 若二面角A-BF-D的平面角的余弦值為

1

3

，求AB的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）證明MF⊥平面ABCD，即可得到結(jié)論；
（II）取AF的中點(diǎn)G，過G作GH⊥BF，垂足為H，連接DH，可證得∠DHG為二面角A-BF-D的平面角，解三角形DGH可得答案．

解答：（Ⅰ）證明：∵ADEF為梯形，AF∥DE，AF⊥FE，AF=AD=2DE=2，
∴△ADF為正三角形
∵M(jìn)為AD中點(diǎn)，∴MF⊥AD
∵平面ABCD⊥平面ADEF，平面ABCD∩平面ADEF=AD，
∴MF⊥平面ABCD
∴MF⊥BD；
（Ⅱ）設(shè)AB=x．取AF的中點(diǎn)G．

由題意得DG⊥AF．
∵平面ABCD⊥平面ADEF，AB⊥AD，∴AB⊥平面ADEF，∴AB⊥DG．
∴DG⊥平面ABF．
過G作GH⊥BF，垂足為H，連接DH，則DH⊥BF，∴∠DHG為二面角A-BF-D的平面角．
在直角△AGD中，AD=2，AG=1，得DG=

3

在直角△BAF中，由

AB

BF

=sin∠AFB=

GH

FG

得

GH

x

=

1

x2+4

，∴GH=

x

x2+4

在直角△DGH中，DG=

3

，GH=

x

x2+4

，∴DH=2

x2+3

x2+4

∵cos∠DHG=

GH

DH

=

1

3

，∴x=

2 15

5

，∴AB=

2 15

5

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面垂直，考查面面角，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確作出面面角是關(guān)鍵．