Question

3．設(shè)直角梯形ABCD，DA⊥AB，在兩平行邊AB、DC上有兩個動點P、Q，直線PQ平分梯形的面積，求證：PQ必過一個定點．

Answer 1

分析 建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)B（2，0），C（2a，b），D（0，b），P（m，0），Q（n，b），利用面積關(guān)系，可得n=a+1-m，分類討論，求出直線PQ的方程，即可得出結(jié)論．

解答 證明：建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)B（2，0），C（2a，b），D（0，b），P（m，0），Q（n，b），
則S_OBCD=b（a+1），S_OPQD=$\frac{b（m+n）}{2}$=$\frac{b（a+1）}{2}$
∴n=a+1-m，
m=n時，直線PQ的方程為x=$\frac{a+1}{2}$，∴直線PQ過定點的橫坐標(biāo)為$\frac{a+1}{2}$．
m≠n時，直線PQ的方程為y=$\frac{n-m}$（x-m），令x=$\frac{a+1}{2}$，結(jié)合n=a+1-m，可得y=$\frac{2}$，
綜上，直線PQ過定點（$\frac{a+1}{2}$，$\frac{2}$）．

點評 本題考查直線PQ過定點，考查解析法的運用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．