Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求證:；

（2）若存在使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，）

Answer 1

【答案】(1)見解析； （2）.

【解析】

（１）設(shè)，將“方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根”轉(zhuǎn)化為“函數(shù)和有兩個(gè)不同的交點(diǎn)”，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求的最值問(wèn)題，得出m的取值范圍，問(wèn)題即可解決。（2）首先“存在使得成立”的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“存在使得成立”，從而轉(zhuǎn)化為求的最大值問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性并求其最值，即可解決問(wèn)題。

（1）若方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，

令，即函數(shù)和有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

而，

令，解得:，令，解得，

故在上遞減，在上遞増，

故，故，

故.

（2）若存在使得成立，

即存在使得成立，

令，則，

易得，

令，解得:，令，解得，

故在遞減，在遞增，

故的最大值是或，

而，

故.