如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥底面ABCD,PA=AB=1,AD=,點(diǎn)F是PB的中點(diǎn),點(diǎn)E在邊BC上移動.
(1)點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)時,試判斷EF與平面PAC的位置關(guān)系,并說明理由;
(2)求證:無論點(diǎn)E在BC邊的何處,都有;
(3)當(dāng)為何值時,與平面所成角的大小為45°.
(1)EF//面PAC (2)因PA⊥底面ABCD,所以DA⊥PA,又DA⊥AB,所以DA⊥面PAB,又DA//CB,所以CB⊥面PAB所以,因?yàn)锳F⊥PB所以AF⊥面PBC有 (3)
解析試題分析:⑴當(dāng)E是BC中點(diǎn)時,因F是PB的中點(diǎn),所以EF為的中位線,
故EF//PC,又因面PAC,面PAC,所以EF//面PAC 4分
⑵證明:因PA⊥底面ABCD,所以DA⊥PA,又DA⊥AB,所以DA⊥面PAB,
又DA//CB,所以CB⊥面PAB,而面PAB,所以,
又在等腰三角形PAB中,中線AF⊥PB,PBCB=B,所以AF⊥面PBC.
而PE面PBC,所以無論點(diǎn)E在BC上何處,都有 8分
⑶以A為原點(diǎn),分別以AD、AB、AP為x\y\z軸建立坐標(biāo)系,設(shè),
則,,,設(shè)面PDE的法向量為,
由,得,取,又,
則由,得,解得.
故當(dāng)時,PA與面PDE成角 12分
考點(diǎn):線面平行垂直的判定及線面角的求解
點(diǎn)評:證明線面平行時常借助于已知的中點(diǎn)轉(zhuǎn)化為線線平行,第三問求線面角采用空間向量的方法思路較簡單,只需求出直線的方向向量與平面的法向量,代入公式即可
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=CA=AA1=2,側(cè)棱AA1⊥面ABC,D、E分別是棱A1B1、AA1的中點(diǎn),點(diǎn)F在棱AB上,且.
(Ⅰ)求證:EF∥平面BDC1;
(Ⅱ)求二面角E-BC1-D的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)為正方形的中心,四邊形是平行四邊形,且平面平面,若.
(1)求證:平面.
(2)線段上是否存在一點(diǎn),使平面?若存在,求的值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,三棱錐中,底面于,,,點(diǎn)是的中點(diǎn).
(1)求證:側(cè)面平面;
(2)若異面直線與所成的角為,且,
求二面角的大小.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,四棱錐P-ABCD的底面ABCD是平行四邊形,M、N分別是AB、PC的中點(diǎn),且.證明:平面PAD⊥平面PDC.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,正方體ABCD—A1B1C1D1棱長為8,E、F分別為AD1,CD1中點(diǎn),G、H分別為棱DA,DC上動點(diǎn),且EH⊥FG.
(1)求GH長的取值范圍;
(2)當(dāng)GH取得最小值時,求證:EH與FG共面;并求出此時EH與FG的交點(diǎn)P到直線的距離.
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