【題目】已知橢圓的中心在原點(diǎn)，離心率等于，它的一個(gè)短軸端點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn)

（1）求橢圓的方程；

（2）已知、是橢圓上的兩點(diǎn)， ， 是橢圓上位于直線兩側(cè)的動點(diǎn).①若直線的斜率為，求四邊形面積的最大值；

②當(dāng)， 運(yùn)動時(shí)，滿足,試問直線的斜率是否為定值，請說明理由

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析: (1)由橢圓的離心率及短軸端點(diǎn)坐標(biāo)求出 ,得到橢圓方程; (2)①設(shè) 設(shè)直線AB方程為 ，聯(lián)立直線與橢圓方程,消去 ,得到一個(gè)關(guān)于 的二次方程,求出 ,再求出 ,代入三角形面積公式,求出最大值; ②由 得到直線斜率之和為0，設(shè)直線 斜率為 ,則直線斜率為,直線 方程為,代入橢圓方程中,求出 的表達(dá)式,同理求出的表達(dá)式,再求出 的值,代入直線的斜率計(jì)算公式中,結(jié)果為定值.

試題解析:（1） ∴

∴ 又

∴ ∴ 橢圓方程為

（2）①設(shè) ，

設(shè)方程 代入化簡

，

又、

當(dāng)時(shí)， 最大為

②當(dāng)時(shí)， 、斜率之和為.

設(shè)斜率為，則斜率為

設(shè)方程

代入化簡

同理

，

∴

直線的斜率為定值

點(diǎn)睛:本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì),直線與橢圓相交問題,一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系,斜率的計(jì)算公式,考查了推理與計(jì)算能力, 屬于難題.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（I）討論函數(shù)的單調(diào)性,并證明當(dāng)時(shí)， ;

（Ⅱ）證明：當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，設(shè)最小值為，求函數(shù)的值域.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某廠生產(chǎn)的產(chǎn)品在出廠前都要做質(zhì)量檢測，每件一等品都能通過檢測，每件二等品通過檢測的概率為．現(xiàn)有件產(chǎn)品，其中件是一等品， 件是二等品．

（Ⅰ）隨機(jī)選取件產(chǎn)品，設(shè)至少有一件通過檢測為事件，求事件的概率；

（Ⅱ）隨機(jī)選取件產(chǎn)品，其中一等品的件數(shù)記為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)，其中，曲線過點(diǎn)，且在點(diǎn)處的切線方程為.

1）求， 的值；

2）證明：當(dāng)時(shí)， ；

3）若當(dāng)時(shí)， 恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某單位職工義務(wù)獻(xiàn)血，在體檢合格的人中， 型血的共有28人， 型血的共有7人， 型血的共有9人， 型血的有3人．

（1）從中任選1人去獻(xiàn)血，有多少種不同的選法？

（2）從四種血型的人中各選1人去獻(xiàn)血，有多少種不同的選法？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】近幾年來，我國許多地區(qū)經(jīng)常出現(xiàn)干旱現(xiàn)象，為抗旱經(jīng)常要進(jìn)行人工降雨，現(xiàn)由天氣預(yù)報(bào)得知，某地在未來5天的指定時(shí)間的降雨概率是：前3天均為，后2天均為，5天內(nèi)任何一天的該指定時(shí)間沒有降雨，則在當(dāng)天實(shí)行人工降雨，否則，當(dāng)天不實(shí)施人工降雨.

(1)求至少有1天需要人工降雨的概率；

(2)求不需要人工降雨的天數(shù)的分布列和期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知向量 =（cosωx，sinωx）， =（cosωx， cosωx），其中ω＞0，設(shè)函數(shù)f（x）= ．
（1）若函數(shù)f（x）的最小正周期是π，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）的圖象的一個(gè)對稱中心的橫坐標(biāo)為 ，求ω的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，其中

（Ⅰ）若函數(shù)在處的切線與直線垂直，求的值；

（Ⅱ）討論函數(shù)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說明理由；

（Ⅲ）若， 恒成立，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)， （）.

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，記，是否存在整數(shù)，使得關(guān)于的不等式有解？若存在，請求出的最小值；若不存在，請說明理由.

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