Question

20．如果$|x|≤\frac{π}{4}$，那么函數(shù)f（x）=-cos²x+sinx的值域是（　　）

• A． $[\frac{{1-\sqrt{2}}}{2}，\frac{{\sqrt{2}-1}}{2}]$
• B． $[-\frac{{\sqrt{2}+1}}{2}，\frac{{\sqrt{2}-1}}{2}]$
• C． $[-\frac{5}{4}，\frac{{\sqrt{2}+1}}{2}]$
• D． $[-\frac{5}{4}，\frac{{\sqrt{2}-1}}{2}]$

Answer 1

分析 利用三角函數(shù)的平方關(guān)系式，化簡函數(shù)的表達(dá)式，結(jié)合x的范圍，求出sinx的范圍，然后求出函數(shù)的最值．

解答 解：函數(shù)f（x）=-cos²x+sinx=sin²x+sinx-1=（sinx+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{5}{4}$，
∵$|x|≤\frac{π}{4}$，
∴-$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤sinx≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
當(dāng)sinx=-$\frac{1}{2}$時，即x=-$\frac{π}{6}$時，f（x）_min=-$\frac{5}{4}$，
當(dāng)sinx=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即x=$\frac{π}{4}$，f（x）_max=$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$，
故函數(shù)f（x）=-cos²x+sinx的值域是[-$\frac{5}{4}$，$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$]，
故選：D．

點評 本題是中檔題，考查三角函數(shù)的化簡求值，考查計算能力轉(zhuǎn)化思想，�？碱}型．