Question

設(shè)點(diǎn)A，B是圓x²+y²=4上的兩點(diǎn)，點(diǎn)C（1，0），如果∠ACB=90°，則線段AB長度的取值范圍為________．

Answer 1

分析：將∠ACB繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，經(jīng)觀察可得當(dāng)直線AB與半徑OC垂直時(shí)，圓心O到AB的距離最近或最遠(yuǎn)，AB的長達(dá)到最值．然后利用直線與圓方程聯(lián)解，求出AB的坐標(biāo)，即可得到兩種情況下線段AB的長，進(jìn)而得到當(dāng)∠ACB旋轉(zhuǎn)時(shí)線段AB長度的取值范圍．
解答：解：將∠ACB繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，可得
當(dāng)直線AB與半徑OC垂直時(shí)，圓心O到AB的距離最近或最遠(yuǎn)時(shí)，AB的長達(dá)到最值．
①當(dāng)AB與OC交點(diǎn)在x軸的正半軸時(shí)，O到AB的距離最遠(yuǎn)，此時(shí)|AB|達(dá)到最小值
此時(shí)直線AC方程為：y=x-1，交x²+y²=4于A（，）
類似地，可求得B（，），可得|AB|=|y_A-y_B|=
②當(dāng)AB與OC交點(diǎn)在x軸的負(fù)半軸時(shí)，O到AB的距離最近，此時(shí)|AB|達(dá)到最大值
同①的方法，可求得此時(shí)的|AB|=
綜上所述，線段AB長度的取值范圍為：
故答案為：
點(diǎn)評(píng)：本題給出圓內(nèi)一點(diǎn)C，直角ACB在圓內(nèi)旋轉(zhuǎn)時(shí)求被圓截得線段AB的取值范圍，著重考查了直線、圓的方程，直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．