Question

設點A，B是圓x²+y²=4上的兩點，點C（1，0），如果∠ACB=90°，則線段AB長度的取值范圍為    ．

Answer 1

【答案】分析：將∠ACB繞點C旋轉，經觀察可得當直線AB與半徑OC垂直時，圓心O到AB的距離最近或最遠，AB的長達到最值．然后利用直線與圓方程聯(lián)解，求出AB的坐標，即可得到兩種情況下線段AB的長，進而得到當∠ACB旋轉時線段AB長度的取值范圍．
解答：解：將∠ACB繞點C旋轉，可得
當直線AB與半徑OC垂直時，圓心O到AB的距離最近或最遠時，AB的長達到最值．
①當AB與OC交點在x軸的正半軸時，O到AB的距離最遠，此時|AB|達到最小值
此時直線AC方程為：y=x-1，交x²+y²=4于A（，）
類似地，可求得B（，），可得|AB|=|y_A-y_B|=
②當AB與OC交點在x軸的負半軸時，O到AB的距離最近，此時|AB|達到最大值
同①的方法，可求得此時的|AB|=
綜上所述，線段AB長度的取值范圍為：
故答案為：
點評：本題給出圓內一點C，直角ACB在圓內旋轉時求被圓截得線段AB的取值范圍，著重考查了直線、圓的方程，直線與圓的位置關系等知識，屬于中檔題．