Question

8．如圖（1），直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=90°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，CD上，且EF⊥AB，EC⊥CB，BC=2，EB=4，若將梯形ABCD沿EF折起，使平面AEFD與平面EFCB垂直．

（1）求證：AB∥平面DFC；
（2）若AE=1，則在線段BC上是否存在一點(diǎn)P，使得AP⊥DE？若存在，求$\frac{BP}{PC}$的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）由AE$\underset{∥}{=}$DF，BE∥CF，AE，得到平面AEB∥平面DFC，由此能證明AB∥平面DFC．
（2）以F為原點(diǎn)，F(xiàn)E為x軸，F(xiàn)C為y軸，F(xiàn)D為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出在線段BC上存在一點(diǎn)P，使得AP⊥DE，且$\frac{BP}{PC}$=$\frac{1}{2}$．

解答 證明：（1）∵AE$\underset{∥}{=}$DF，BE∥CF，AE∩BE=E，DF∩CF=F，
AE，BE?平面AEB，DF，CF?平面DFC，
∴平面AEB∥平面DFC，
∵AB?平面AEB，∴AB∥平面DFC．
（2）∵直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=90°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，CD上，
EF⊥AB，EC⊥CB，平面AEFD與平面EFCB垂直，
∴以F為原點(diǎn)，F(xiàn)E為x軸，F(xiàn)C為y軸，F(xiàn)D為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
∵BC=2，EB=4，EC⊥CB，AE=1，∴∠BEC=30°，CE=2$\sqrt{3}$，EF=$\sqrt{3}$，CF=3，
∴D（0，0，1），E（$\sqrt{3}$，0，0），A（$\sqrt{3}$，0，1），B（$\sqrt{3}$，4，0），C（0，3，0），
設(shè)P（a，b，0），$\overrightarrow{BP}$=$λ\overrightarrow{BC}$，0≤λ≤1，則（a-$\sqrt{3}$，b-4，0）=（-$\sqrt{3}λ$，-λ，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-\sqrt{3}=-\sqrt{3}λ}\\{b-4=-λ}\end{array}\right.$，解得a=$\sqrt{3}-\sqrt{3}λ$，b=4-λ，∴P（$\sqrt{3}-\sqrt{3}λ$，4-λ，0），
$\overrightarrow{AP}$=（-$\sqrt{3}λ$，4-λ，-1），$\overrightarrow{DE}$=（$\sqrt{3}，0，-1$），
∵AP⊥DE，∴$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{DE}$=-3λ+1=0，解得$λ=\frac{1}{3}$，
∴$\frac{BP}{PC}$=$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明，考查使得異面直線垂直的點(diǎn)是否存在的判斷與求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．