Question

4．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，且AD∥BC，∠ABC=90°，PA⊥面ABCD，若PA=AB=BC=$\frac{1}{2}$AD．
（1）求證：CD⊥平面PAC；
（2）側(cè)棱PA上中點(diǎn)E，求證：BE∥平面PCD；
（3）求二面角A-PD-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出PA⊥CD，AC⊥CD，由此能證明CD⊥平面PAC．
（2）取PD中點(diǎn)F，連結(jié)BE、EF、FC，推導(dǎo)出四邊形BEFC為平行四邊形，從而BE∥CF，由此能證明BE∥平面PCD．
（3）設(shè)G為AD的中點(diǎn)，連結(jié)CG，過G作GH⊥PD于H，連結(jié)CH，由三垂線定理得∠GHC是二面角A-PD-C的平面角，由此能求出二面角A-PD-C的余弦值．

解答 證明：（1）∵PA⊥底面ABCD，CD?底面ABCD，
∴PA⊥CD，
在底面ABCD中，∵∠ABC=∠BAD=90°，AB=BC=$\frac{1}{2}AD$，
∴AC=CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}AD$，∴AC⊥CD，
∵PA∩AC=A，∴CD⊥平面PAC．
（2）取PD中點(diǎn)F，連結(jié)BE、EF、FC，
則EF∥AD，且EF=$\frac{1}{2}AD$，
由已知∠ABC=∠BAD=90°，∴BC∥AD，
又BC=$\frac{1}{2}AD$，∴BC∥EF，且BC=EF，
∴四邊形BEFC為平行四邊形，∴BE∥CF，
∵BE?平面PCD，CF?平面PCD，
∴BE∥平面PCD．
解：（3）設(shè)G為AD的中點(diǎn)，連結(jié)CG，則CG⊥AD，
又∵平面ABCD⊥平面PAD，
∴CG⊥平面PAD，
過G作GH⊥PD于H，連結(jié)CH，
由三垂線定理得CH⊥PD，
∴∠GHC是二面角A-PD-C的平面角，
設(shè)AD=2，則PA=AB=CG=DG=1，DP=$\sqrt{5}$，
在△PAD中，$\frac{GH}{PA}=\frac{DG}{DP}$，∴GH=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，
∴tan$∠GHC=\frac{CG}{GH}$=$\sqrt{5}$，cos$∠GHC=\frac{\sqrt{6}}{6}$．
∴二面角A-PD-C的余弦值為$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

點(diǎn)評 本題考查線面垂直、線面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．