Question

當(dāng)x∈[-2，1]時(shí)，不等式mx³≥x²-4x-3恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A、[-6，-

  9

  8

  ]
• B、[-6，-2]
• C、[-5，-3]
• D、[-4，-3]

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：通過x=0時(shí)，判斷不等式是否成立求出m的范圍，0＜x≤1時(shí)，轉(zhuǎn)化mx³-x²+4x+3≥0，m≥

1

x

-

4

x2

-

3

x3

，構(gòu)造函數(shù)f（x）=

1

x

-

4

x2

-

3

x3

，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值，f（x）_max，通過-2≤x＜0時(shí)求出函數(shù)f（x）_min，得到m的范圍，得到選項(xiàng)．

解答： 解：當(dāng)x=0時(shí)，不等式mx³-x²+4x+3≥0對(duì)任意m∈R恒成立；
當(dāng)0＜x≤1時(shí)，ax³-x²+4x+3≥0可化為m≥

1

x

-

4

x2

-

3

x3

，
令f（x）=

1

x

-

4

x2

-

3

x3

，則f′（x）=-

1

x2

+

8

x3

+

9

x4

=-

(x-9)(x+1)

x4

（*），
當(dāng)0＜x≤1時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（0，1]上單調(diào)遞增，
f（x）_max=f（1）=-6，∴m≥-6；
當(dāng)-2≤x＜0時(shí)，mx³-x²+4x+3≥0可化為m≤

1

x

-

4

x2

-

3

x3

，
由（*）式可知，當(dāng)-2≤x＜-1時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
f（x）_min=f（-1）=-2，∴m≤-2；
綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍是-6≤m≤-2，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是[-6，-2]．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查分類討論思想的應(yīng)用，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及函數(shù)閉區(qū)間上的最值，構(gòu)造法以及恒成立問題的應(yīng)用，難度比較大．