Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-ax²+（2-a）x．
（1）討論f（x）的單調(diào)性；
（2）設(shè)[ln（1+ax）]′=

a

1+ax

，[ln（1-ax）]′=

-a

1-ax

，證明：當(dāng)a＞0且0＜x＜

1

a

時，f（

1

a

+x）＞f（

1

a

-x）．

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（I）由已知得f′(x)=

1

x

-2ax+(2-a)=-

(2x+1)(ax-1)

x

，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出f（x）的單調(diào)性．（II）設(shè)g(x)=f(

1

a

+x)-f(

1

a

-x)，則g（x）=ln（1+ax）-ln（1-ax）-2ax，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能證明當(dāng)a＞0且0＜x＜

1

a

時，f（

1

a

+x）＞f（

1

a

-x）．

解答： （I）解：f（x）的定義域為（0，+∞），
f′(x)=

1

x

-2ax+(2-a)=-

(2x+1)(ax-1)

x

，
①若a≤0，f'（x）＞0，所以f（x）在（0，+∞）單調(diào)增加；
②若a＞0，則由f'（x）=0得x=

1

a

，
且當(dāng)x∈(0，

1

a

)時，f'（x）＞0，
當(dāng)x＞

1

a

時，f'（x）＜0，
所以f（x）在(0，

1

a

)單調(diào)增加，在(

1

a

，+∞)單調(diào)減少．
（II）證明：設(shè)g(x)=f(

1

a

+x)-f(

1

a

-x)，
則g（x）=ln（1+ax）-ln（1-ax）-2ax，

1 a +x＞0 1 a -x＞0 0＜x＜ 1 a a＞0

⇒0＜x＜

1

a

g′(x)=

a

1+ax

+

a

1-ax

-2a=

2a3x2

1-a2x2

，
當(dāng)0＜x＜

1

a

時，g'（x）＞0，g（x）單增，
而g（0）=0，所以g（x）＞0．
故當(dāng)0＜x＜

1

a

時，f(

1

a

+x)＞f(

1

a

-x)．

點評：本題重點考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，利用函數(shù)的性質(zhì)解決不等式、方程問題．重點考查學(xué)生的代數(shù)推理論證能力．解題時要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運用．