Question

已知函數(shù)f（x）定義域?yàn)閇-1，1]，且f（x）-f（y）=f（

x-y

1-xy

），且f（

1

2011+x

）=1+f（

1

x

），求P=f（

1

5

）+f（

1

11

）+…+f（

1

r2+r-1

）+…+f（

1

20122

+2012^-1）的值．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專(zhuān)題：計(jì)算題,壓軸題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：用

1

x

，

1

y

分別代換x，y，化簡(jiǎn)得到f（

1

x

）-f（

1

y

）=f（x）-f（y），再由條件f（

1

2011+x

）=1+f（

1

x

），得到f（2011+x）-f（x）=1．由于（

1

r2+r-1

=f[

r-(r+1)

1-r(r+1)

]=f（r）-f（r+1）．再運(yùn)用累加法，即可求出p的值．

解答： 解：由于函數(shù)f（x）定義域?yàn)閇-1，1]，且f（x）-f（y）=f（

x-y

1-xy

），
用

1

x

，

1

y

分別代換x，y，
則有f（

1

x

）-f（

1

y

）=f（

y-x

xy-1

）=f（

x-y

1-xy

）=f（x）-f（y）
得f（x）-f（y）=f（

1

x

）-f（

1

y

）
又f（

1

2011+x

）=1+f（

1

x

），
即f（

1

2011+x

）-f（

1

x

）=1，
由于f（

1

r2+r-1

=f[

r-(r+1)

1-r(r+1)

]=f（

1

r

）-f（

1

r+1

）．
于是f（

1

5

）=f（

1

2

）-f（

1

3

），
f（

1

11

）=f（

1

3

）-f（

1

4

），…，
f（

1

20122+2012-1

）=f（

1

2012

）-f（

1

2013

）．
于是p=f（

1

2

）-f（

1

2013

）
=f（

1

2

）-1-f（

1

2

）=-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)及運(yùn)用，考查解決抽象函數(shù)的常用方法：賦值法或賦式法，考查數(shù)列求和法：累加法，是一道壓軸題，也是難題．