Question

10．已知函數(shù)f（x）=-$\frac{x^2}{2}$+x在區(qū)間[m，n]上的最小值是2m，最大值是2n，求m，n的值．

Answer 1

分析 對(duì)m和n的范圍進(jìn)行分類討論，并根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性表示出函數(shù)的最大值和最小值建立等式求得m和n．

解答 解：①當(dāng)m＜n≤1時(shí)，函數(shù)在區(qū)間[m，n]上單調(diào)增，f（m）=-$\frac{{m}^{2}}{2}$+m=2m，f（n）=-$\frac{{n}^{2}}{2}$+n=2n，
求得m=-2，n=0．
②當(dāng)1＜m＜n時(shí)，f（x）在[m，n]上遞減，且f（x）＜$\frac{1}{2}$值域?yàn)閇2m，2n]，2n＜$\frac{1}{2}$，矛盾
③m≤1＜n時(shí)，f（x）_mac=$\frac{1}{2}$，
若值域?yàn)閇2m，2n]，
 則2n=$\frac{1}{2}$，n=$\frac{1}{4}$與n＞1矛盾
綜上，符合條件的m，n的值為m=-2，n=0

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)和分類討論思想的運(yùn)用．應(yīng)能熟練掌握二次函數(shù)求最值的方法．