Question

18．已知f（x）=|x²-2x-3|
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若g（x）=f（x）-m有4個(gè)零點(diǎn)，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出方程f（x）=0的根，利用配方法化簡(jiǎn)后，由二次函數(shù)的圖象畫出f（x）的函數(shù)圖象，由圖象寫出f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）將函數(shù)g（x）的零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，由圖求出m的取值范圍．

解答 解：（1）令f（x）=|x²-2x-3|=0，解得x=-1或x=3，
畫出函數(shù)f（x）=|x²-2x-3|=|（x-1）²-4|的圖象：
由圖得，
f（x）的增區(qū)間是（-1，1），（3，+∞），
減區(qū)間是（-∞，-1），（1，3）；
（2）∵g（x）=f（x）-m有4個(gè)零點(diǎn)，
∴函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=m有4個(gè)不同的交點(diǎn)，
由圖得，m的取值范圍是（0，4）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)與函數(shù)圖象的交點(diǎn)關(guān)系，以及二次函數(shù)的圖象，考查轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．