Question

已知函數(shù)， ．

(1)求在點(diǎn)處的切線方程；

(2)證明: 曲線與曲線有唯一公共點(diǎn)；

(3)設(shè)，比較與的大小, 并說明理由.

 

Answer 1

(1);(2)祥見解析; （3）.

【解析】

試題分析：(1)由于為切點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出x=1處的切線的斜率，利用點(diǎn)斜式求出切線方程，化成一般式即可；(2)要證兩曲線有唯一公共點(diǎn)，只須證兩個(gè)函數(shù)的差函數(shù)有唯一零點(diǎn)，注意到差函數(shù)在x=0處的函數(shù)值為零，所以只須用導(dǎo)數(shù)證明此函數(shù)在R上是一單調(diào)函數(shù)即可；（3）要比較兩個(gè)式子的大小，一般用比差法：作差，然后對(duì)差式變形，最后確定差式的符號(hào)．此題作差后字母較多，注意觀察，可構(gòu)造函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)對(duì)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行研究，從而達(dá)到確定符號(hào)的目的．

試題解析：(1)，則，點(diǎn)處的切線方程為：,即

(2)令 ，，則，，且，，因此，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.

所以，所以在上單調(diào)遞增，又，即函數(shù)有唯一零點(diǎn)，

所以曲線與曲線有唯一公共點(diǎn).

（3）設(shè)

令,則,

所以在上單調(diào)遞增,且,因此,從而在上單調(diào)遞增,而,所以在上;即當(dāng)時(shí), ,又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720002820138274/SYS201411172000343422782276_DA/SYS201411172000343422782276_DA.043.png">,所以有;所以當(dāng)時(shí), .

考點(diǎn)：１．導(dǎo)數(shù)的幾何意義；２．導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．