Question

設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=x²+x|x-a|，x∈R．當(dāng)a＜0時(shí)，求f（x）在[-2，2]上的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：去掉絕對值，得到兩段函數(shù)，對兩段上求得的f（x）求解集，即可求得f（x）的值域．

解答： 解：（1）當(dāng)x-a≥0，即x≥a時(shí)，函數(shù)f（x）=2x²-ax=2（x-

a

4

）²-

a2

2

，
①當(dāng)

a

4

≤-2時(shí)，即a≤-8時(shí)，
∴函數(shù)f（x）在[-2，2]為增函數(shù)，
∴f（-2）≤f（x）≤f（2），
∴-8+2a≤f（x）≤8-2a，
即函數(shù)的值域?yàn)閇-8+2a，8-2a]
②當(dāng)

a

2

≤-2時(shí)，即-4≤a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）在[-2，

a

2

]為減函數(shù)，在（

a

2

，2]為增函數(shù)，
∴當(dāng)x=

a

2

時(shí)，函數(shù)有最小值，即f（x）_min=-

1

2

a2，當(dāng)x=2時(shí)，有最大值，即f（x）_max=8-2a，
即函數(shù)的值域?yàn)閇-

1

2

a2，8-2a]，
（2）當(dāng)x-a＜0，即x＜a時(shí)，函數(shù)f（x）=ax，
∵a＜0，
∴函數(shù)在[-2，2]上為減函數(shù)，
∴當(dāng)x=2函數(shù)有最小值，即f（x）_min=2a，x=-2時(shí)，有最大值，即f（x）_max=-2a，
即函數(shù)的值域?yàn)閇2a，-2a]，

點(diǎn)評：考查求函絕對值函數(shù)的值域的求法，以及配方法求二次函數(shù)的值域．