Question

2．定義在區(qū)間D上的函數(shù)f（x），如果滿足：對(duì)任意x∈D，都存在常數(shù)M≥0，有|f（x）|≤M，則稱f（x）是區(qū)間D上有界函數(shù)，其中M稱為f（x）上的一個(gè)上界，已知函數(shù)g（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\frac{1-ax}{1-x}$為奇函數(shù)．
（1）求函數(shù)g（x）在區(qū)間[$\frac{1}{3}$，$\frac{3}{5}$]上的所有上界構(gòu)成的集合；
（2）若g（1-m）+g（1-m²）＜0，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用奇函數(shù)的性質(zhì)，求出函數(shù)的解析式，利用單調(diào)性求函數(shù)g（x）在區(qū)間[$\frac{1}{3}$，$\frac{3}{5}$]上的所有上界構(gòu)成的集合；
（2）若g（1-m）+g（1-m²）＜0，有-1＜m²-1＜1-m＜1，即可求m的取值范圍．

解答 解：（1）∵函數(shù)g（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\frac{1-ax}{1-x}$為奇函數(shù)．
∴g（-x）=-g（x），
即log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\frac{1+ax}{1+x}$=-log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\frac{1-ax}{1-x}$…（1分）
∴$\frac{1+ax}{1+x}$=$\frac{1-x}{1-ax}$，1-x²=1-a²x²
得出；a=±1，而a=1時(shí)不符合題意，
故a=-1，…（3分）
函數(shù)g（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（$\frac{2}{1-x}$-1）是減函數(shù)，在區(qū)間[$\frac{1}{3}$，$\frac{3}{5}$]上是單調(diào)遞減，…（4分）
g（$\frac{1}{3}$）=-1，g（$\frac{3}{5}$）=-2，|g（x）|≤2
所以g（x）在區(qū)間[$\frac{1}{3}$，$\frac{3}{5}$]上的所有上界構(gòu)成的集合[2，+∞）…（6分）
（Ⅱ）g（1-m）+g（1-m²）＜0，g（1-m）＜g（m²-1），…（7分）
g（x）為減函數(shù)，…（8分）
所以有-1＜m²-1＜1-m＜1，
解得0＜m＜1，
故不等式的解集{m|0＜m＜1}．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，考查學(xué)生解不等式的能力，正確轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．