已知a是實(shí)數(shù),函數(shù)f(x)=x2(x-a).
(Ⅰ)若f′(1)=3,求a的值及曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程;
(Ⅱ)求f(x)在區(qū)間[0,2]上的最大值.
分析:(I)求出f'(x),利用f'(1)=3得到a的值,然后把a(bǔ)代入f(x)中求出f(1)得到切點(diǎn),而切線的斜率等于f'(1)=3,寫出切線方程即可;
(II)令f'(x)=0求出x的值,利用x的值分三個區(qū)間討論f'(x)的正負(fù)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最大值.
解答:解:(I)f'(x)=3x
2-2ax.因?yàn)閒'(1)=3-2a=3,所以a=0.
又當(dāng)a=0時,f(1)=1,f'(1)=3,則切點(diǎn)坐標(biāo)(1,1),斜率為3
所以曲線y=f(x)在(1,f(1))處的切線方程為y-1=3(x-1)化簡得3x-y-2=0.
(II)令f'(x)=0,解得
x1=0,x2=.
當(dāng)
≤0,即a≤0時,f(x)在[0,2]上單調(diào)遞增,從而f
max=f(2)=8-4a.
當(dāng)
≥2時,即a≥3時,f(x)在[0,2]上單調(diào)遞減,從而f
max=f(0)=0.
當(dāng)
0<<2,即0<a<3,f(x)在
[0,]上單調(diào)遞減,在
[,2]上單調(diào)遞增,從而
fmax=綜上所述,
fmax= 點(diǎn)評:本題主要考查導(dǎo)數(shù)的基本性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識,以及綜合運(yùn)用所學(xué)知識分析問題和解決問題的能力.