Question

已知a是實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=2ax²+2x-3-a，如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-1，1]上有零點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：y=f（x）在區(qū)間[-1，1]上有零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為（2x²-1）a=3-2x在[-1，1]上有解，把a(bǔ)用x表示出來(lái)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y=

2x2-1

3-2x

在[-1，1]上的值域，再用分離常數(shù)法求函數(shù)y=

2x2-1

3-2x

在[-1，1]的值域即可．

解答：解：a=0時(shí)，不符合題意，所以a≠0，
又∴f（x）=2ax²+2x-3-a=0在[-1，1]上有解，?（2x²-1）a=3-2x在[-1，1]上有解?

1

a

=

2x2-1

3-2x

在[-1，1]上有解，問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y=

2x2-1

3-2x

[-1，1]上的值域；
設(shè)t=3-2x，x∈[-1，1]，則2x=3-t，t∈[1，5]，y=

1

2

•

(t-3)2-2

t

=

1

2

(t+

7

t

-6)，
設(shè)g(t)=t+

7

t

．g′(t)=

t2-7

t2

，t∈[1，

7

)時(shí)，g'（t）＜0，此函數(shù)g（t）單調(diào)遞減，
t∈(

7

，5]時(shí)，g'（t）＞0，此函數(shù)g（t）單調(diào)遞增，
∴y的取值范圍是[

7

-3，1]，
∴f（x）=2ax²+2x-3-a=0在[-1，1]上有解?

1

a

∈[

7

-3，1]?a≥1或a≤-

3+ 7

2

．
故a≥1或a≤-

3+ 7

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題是一道中檔題，主要考查函數(shù)的零點(diǎn)及函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理，函數(shù)的零點(diǎn)的研究就可轉(zhuǎn)化為相應(yīng)方程根的問題，函數(shù)與方程的思想得到了很好的體現(xiàn)．