Question

20．如圖，四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=$\frac{π}{2}$，AB=BC=1，CD=2，PA⊥平面ABCD，E是PD的中點．
（1）求證：AE∥平面PBC；
（2）若AE與BC所成角等于$\frac{π}{3}$，求AE與平面PAC所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取PC的中點F，連結(jié)EF，BF．則通過證明四邊形ABFE是平行四邊形得出AE∥BF，于是AE∥平面PBC；
（2）由AE∥BF可知∠FBC=$\frac{π}{3}$，BF與平面PAC所成的角等于AE與平面PAC所成的角，過B作BG⊥AC，則可證BG⊥平面PAC，利用勾股定理依次求出BF，PB，PA，F(xiàn)G，則cos∠BFG=$\frac{FG}{BF}$．

解答 證明：（1）取PC的中點F，連結(jié)EF，BF．
∵E，F(xiàn)是PD，PC的中點，
∴EF$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$CD，又∵AB$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$CD，
∴EF$\stackrel{∥}{=}$AB，
∴四邊形ABFE是平行四邊形，
∴AE∥BF，又AE?平面PBC，BF?平面PBC，
∴AE∥平面PBC．
（2）∵BF∥AE，
∴∠FBC為異面直線BC，AE所成的角，即∠FBC=$\frac{π}{3}$．
∵PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴PA⊥BC，又BC⊥AB，PA?平面PAB，AB?平面PAB，PA∩AB=A，
∴BC⊥平面PAB，∵PB?平面PAB，
∴BC⊥PB，
∴BF=$\frac{1}{2}$PC=FC，∴△BCF是等邊三角形，∠BCF=60°，
又BC=1，∴BF=1，PB=$\sqrt{3}$，∴PA=$\sqrt{P{B}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{2}$．
過B作BG⊥AC于G，∵AB=BC，∴G為AC的中點，
∴FG=$\frac{1}{2}PA$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵PA⊥平面ABCD，BG?平面ABCD，
∴PA⊥BG．
又AC?平面PAC，PA?平面PAC，PA∩AC=A，
∴BG⊥平面PAC，
∴∠BFG為BF與平面PAC所成的角，
∵BF∥AE，∴∠BFG為AE與平面PAC所成的角．
∴cos∠BFG=$\frac{FG}{BF}=\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴AE與平面PAC所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查了線面平行，線面垂直的判定，線面角的作法與計算，屬于中檔題．