Question

10．△ABC內(nèi)一點(diǎn)O，OA=OB=2，OC=3$\sqrt{2}$，△ABC的面積最大值為$\frac{7\sqrt{7}}{2}$．

Answer 1

分析 當(dāng)△ABC的面積取最大值時(shí)，OC與OA，OB的夾角相等，設(shè)∠AOC=∠BOC=α，則∠AOB=2π-2α，求出S的表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)法求出最值，可得答案．

解答 解：當(dāng)△ABC的面積取最大值時(shí)，OC與OA，OB的夾角相等；
設(shè)∠AOC=∠BOC=α，∠AOB=2π-2α，
∵OA=OB=2，OC=3$\sqrt{2}$，
∴△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$OA•OB•sin（2π-2α）+$\frac{1}{2}$OA•OC•sinα+$\frac{1}{2}$OC•OB•sinα
=6$\sqrt{2}$sinα-2sin2α
則S′=6$\sqrt{2}$cosα-4cos2α=6$\sqrt{2}$cosα-8cos²α+4，
僅S′=0，則cosα=1（舍去），或cosα=-$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
即當(dāng)cosα=-$\frac{\sqrt{2}}{4}$時(shí)，S取最大值，此時(shí)sinα=$\frac{\sqrt{14}}{4}$，sin2α=$-\frac{\sqrt{7}}{4}$
即S的最大值為：$\frac{7\sqrt{7}}{2}$
故答案為：$\frac{7\sqrt{7}}{2}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，三角形面積公式，轉(zhuǎn)化困難，難度較大．