Question

7．當t∈[0，2π）時，函數(shù)f（t）=（1+sint）（1+cost）的最大值為$\frac{3+2\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 由f（t）=1+（sint+cost）+sintcost，令m=sint+cost=$\sqrt{2}$sin（t+$\frac{π}{4}$）∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，sintcost=$\frac{{m}^{2}-1}{2}$，則f（t）=1+m+$\frac{{m}^{2}-1}{2}$=$\frac{（m+1）^{2}}{2}$，運用二次函數(shù)的值域求法，可得最大值．

解答 解：f（t）=（1+sint）（1+cost）
=1+（sint+cost）+sintcost，
令m=sint+cost=$\sqrt{2}$sin（t+$\frac{π}{4}$）∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，
即有m²=1+2sintcost，即sintcost=$\frac{{m}^{2}-1}{2}$，
則f（t）=1+m+$\frac{{m}^{2}-1}{2}$=$\frac{（m+1）^{2}}{2}$，
即有m=-1時，f（t）取得最小值0；
m=$\sqrt{2}$，即t=$\frac{π}{4}$時，f（t）取得最大值，且為$\frac{3+2\sqrt{2}}{2}$．
故答案為：$\frac{3+2\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查可化為二次函數(shù)的最值的求法，注意運用三角換元和正弦函數(shù)的值域，考查運算能力，屬于中檔題．