Question

4．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD為菱形，AD=PD，∠DAB=60°．點分E，F(xiàn)，G，H別是棱AB，CD，PC，PB上共面的四點，且BC∥EF．
（1）證明：GH∥EF；
（2）若點E，F(xiàn)，G，H分別是棱AB，CD，PC，PB的中點，求二面角E-GH-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理證明BC∥平面EFGH即可；
（2）建立空間坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用向量法即可．

解答 解：（1）∵BC∥EF，BC?平面EFGH，EF?平面EFGH，
∴BC∥平面EFGH，
∵BC?平面PBC，平面PBC∩平面EFGH=GH，
∴GH∥BC，
∵BC∥EF，∴GH∥EF．
（2）∵ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
設(shè)AC∩BD=O，
則O是BD的中點，
∵H是PB的中點，
∴OH∥PD，
∵PD⊥平面ABCD，∴OH⊥平面ABCD，
建立以O(shè)為坐標(biāo)原點，OA，OB，OH分別為x，y，z軸的空間直角坐標(biāo)系如圖：
設(shè)AD=2，則A（$\sqrt{3}$，0，0），B（0，1，0），E（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，0），H（0，0，1），C（-$\sqrt{3}$，0，0），D（0，-1，0），
F（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$，0），G（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$，1），
設(shè)平面EGH的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{HE}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{GH}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{1}{2}y-z=0}\\{\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{1}{2}y=0}\end{array}\right.$，令x=1，則y=-$\sqrt{3}$，z=0，即$\overrightarrow{n}$=（1，-$\sqrt{3}$，0），
設(shè)平面BGH的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{HG}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{HB}=0}\end{array}\right.$，則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{1}{2}y=0}\\{y-z=0}\end{array}\right.$，令x=-1，則y=z=$\sqrt{3}$，
即$\overrightarrow{m}$=（-1，$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$），
cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=-$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，
∵二面角E-GH-B是銳二面角，
∴二面角E-GH-B的余弦值是$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．

點評 本題主要考查線面平行的性質(zhì)定理以及二面角的求解，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法進(jìn)行求解，綜合性較強(qiáng)，運算量較大．