Question

19．如圖，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD為菱形，AC=4，BD=2，且側(cè)棱AA₁=3．其中O₁為A₁C₁與B₁D₁的交點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)B₁到平面D₁AC的距離；
（2）在線段BO₁上，是否存在一個(gè)點(diǎn)P，使得直線AP與CD₁垂直？若存在，求出線段BP的長；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）用向量法，找出平面上一點(diǎn)D₁與此點(diǎn)B₁相連的線段所對(duì)應(yīng)的向量，求出其在平面法向量上的投影的絕對(duì)值即可得到點(diǎn)到面的距離．
（2）由題意設(shè)$\overrightarrow{BP}=λ•\overrightarrow{B{O_1}}$，可求$\overrightarrow{AP}$，$\overrightarrow{C{D}_{1}}$的坐標(biāo)，若$\overrightarrow{AP}⊥\overrightarrow{C{D_1}}$，可得$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{C{D}_{1}}$=0，解得λ的值，即可得解．

解答 （本題滿分14分） 本題共2個(gè)小題，每小題（7分）．
解：（1）由于菱形的對(duì)角線互相垂直平分，
故以AC與BD的交點(diǎn)O為原點(diǎn)，以射線OA、OB、OO₁分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．
由已知條件，相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)為A（2，0，0），B（0，1，0），C（-2，0，0），O₁（0，0，3），B₁（0，1，3），D₁（0，-1，3）．…（2分）
設(shè)平面D₁AC的法向量為$\overrightarrow n=（x，y，z）$，
由$\overrightarrow{AC}=（-4，0，\;0）$，$\overrightarrow{A{D_1}}=（-2，-1，\;3）$，
得$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{AC}=\;\;-4x=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{A{D_1}}=-2x-y+3z=0\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}x=0\\ y=3z.\end{array}\right.$，
令z=1，則$\overrightarrow n=（0，3，1）$．…（5分）
因$\overrightarrow{{D_1}{B_1}}=（0，2，0）$，
故點(diǎn)B₁到平面D₁AC的距離為$d=\frac{{|{\overrightarrow{{D_1}{B_1}}•\overrightarrow n}|}}{{|{\overrightarrow n}|}}=\frac{{|{（0，2，0）•（0，3，1）}|}}{{|{（0，3，1）}|}}=\frac{3}{5}\sqrt{10}$．…（7分）
（2）設(shè)$\overrightarrow{BP}=λ•\overrightarrow{B{O_1}}$，
則由$\overrightarrow{AB}=（-2，1，\;0）$，$\overrightarrow{B{O_1}}=（0，-1，\;3）$，
得$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BP}=（-2，1-λ，3λ）$．
又$\overrightarrow{C{D_1}}=（2，-1，\;3）$，…（10分）
故當(dāng)$\overrightarrow{AP}⊥\overrightarrow{C{D_1}}$時(shí)，$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{C{D_1}}=（-2，1-λ，3λ）•（2，-1，\;3）=10λ-5=0⇒λ=\frac{1}{2}$．…（12分）
于是，在線段BO₁上存在點(diǎn)P，使得AP⊥CD₁；此時(shí)$BP=\frac{1}{2}B{O_1}=\frac{{\sqrt{10}}}{2}$．…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是用空間向量求點(diǎn)到平面的距離，其中建立空間坐標(biāo)系，然后將空間直線與平面、平面與平面位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量之間的關(guān)系，是解答本題的關(guān)鍵．本題運(yùn)算量較大，解題時(shí)要嚴(yán)謹(jǐn)，用向量解決立體幾何問題是近幾年高考的熱點(diǎn)，本題中的類型近幾年出現(xiàn)的頻率較高，屬于中檔題．