Question

15．設(shè)點P（x，y）是曲線$\frac{|x|}{8}+\frac{|y|}{6}=1$上的動點，EF為圓N：（x-1）²+y²=4的任意一條直徑，則$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$的范圍為（　�。�

• A． [$\frac{341}{25}$，77]
• B． [$\frac{441}{25}$，81]
• C． [$\sqrt{37}$，77]
• D． [$\frac{1}{5}$，5]

Answer 1

分析 把$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$轉(zhuǎn)化為（$\overrightarrow{NE}$-$\overrightarrow{NP}$）•（$\overrightarrow{NF}$-$\overrightarrow{NP}$）=$\overrightarrow{NE}$•$\overrightarrow{NF}$-$\overrightarrow{NP}$•（$\overrightarrow{NE}$+$\overrightarrow{NF}$）+$\overrightarrow{NP}$²=-|NE|•|NF|•cosπ-0+|NP|²=-4+|NP|²．
再結(jié)合|NP|的范圍即可求出結(jié)論．

解答 解：$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$=（$\overrightarrow{NE}$-$\overrightarrow{NP}$）•（$\overrightarrow{NF}$-$\overrightarrow{NP}$）
=$\overrightarrow{NE}$•$\overrightarrow{NF}$-$\overrightarrow{NP}$•（$\overrightarrow{NE}$+$\overrightarrow{NF}$）+$\overrightarrow{NP}$²
=-|NE|•|NF|•cosπ-0+|NP|²
=-4+|NP|²．
點N（1，0）到直線$\frac{x}{8}+\frac{y}{6}$=1的距離為$\frac{|6-48|}{\sqrt{36+64}}$=$\frac{21}{5}$，
∵點P（x，y）是曲線$\frac{|x|}{8}+\frac{|y|}{6}=1$上的動點，
∴|NP|∈[$\frac{21}{5}$，9]
∴$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$∈[$\frac{341}{25}$，77]．
故選：A．

點評 本題主要考查圓的基本性質(zhì)．解決本題的關(guān)鍵在于會把所求問題轉(zhuǎn)化．