Question

3．某同學(xué)對函數(shù)$f（x）=\frac{sinx}{x}$進(jìn)行研究后，得出以下五個結(jié)論：
①函數(shù)y=f（x）的圖象是軸對稱圖形；
②函數(shù)y=f（x）對任意定義域中x值，恒有|f（x）|＜1成立；
③函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸有無窮多個交點(diǎn)，且每相鄰兩交點(diǎn)間距離相等；
④當(dāng)常數(shù)k滿足k≠0時，函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=kx有且僅有一個公共點(diǎn)．
其中所有正確結(jié)論的序號是①②④．

Answer 1

分析 利用函數(shù)的奇偶性判斷①，根據(jù)y=sinx與y=x的圖象關(guān)系判斷②，令f（x）=0求出零點(diǎn)，結(jié)合定義域即可判斷③，利用函數(shù)圖象判斷④．

解答 解：對于①，f（x）的定義域?yàn)閧x|x≠0}，關(guān)于原點(diǎn)對稱，
∵f（-x）=$\frac{sin（-x）}{-x}$=$\frac{sinx}{x}=f（x）$，∴f（x）是偶函數(shù)，
∴f（x）的圖象關(guān)于y軸對稱，故①正確；
對于②，∵（sinx）′|_x=0=cos0=1，
∴y=sinx在（0，0）處的切線為y=x，
∴|sinx|＜|x|（x≠0），
∴|f（x）|=$|\frac{sinx}{x}|$＜1，故②正確；
對于③，令f（x）=0得sinx=0，∴x=kπ，k∈{k∈Z|k≠0}，
∴f（x）的圖象與x軸的交點(diǎn)中，距離原點(diǎn)最近的兩個交點(diǎn)距離為2π，其余相鄰的交點(diǎn)距離為π，
故③錯誤；
對于④，聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{sinx}{x}}\\{y=kx}\end{array}\right.$得kx²=sinx（k≠0，x≠0），
根據(jù)y=kx²與y=sinx的函數(shù)圖象可知兩圖象必有1交點(diǎn)，
∴函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=kx有且僅有一個公共點(diǎn)，故④正確．
故答案為：①②④．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)及其圖象的性質(zhì)，函數(shù)零點(diǎn)的判斷，屬于中檔題．