Question

已知定義在R上的函數f（x）滿足f（1）=1，且f（x）的導數f′（x）在R上恒有f′（x）＜

1

2

，則不等式f（x）＜

1

2

x+

1

2

的解集為（　�。�

• A、（1，+∞）
• B、（-∞，-1）
• C、（-1，1）
• D、（-∞，-1）∪（1，+∞）

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性

專題：計算題,導數的概念及應用

分析：由題意，設g（x）=f（x）-（

1

2

x+

1

2

），x∈R；求出g′（x），判定g（x）的單調性，由此求出不等式f（x）＜

1

2

x+

1

2

的解集．

解答： 解：根據題意，設g（x）=f（x）-（

1

2

x+

1

2

），x∈R；
∴g′（x）=f′（x）-

1

2

＜0，
∴g（x）在R上是單調減函數；
又∵g（1）=f（1）-（

1

2

+

1

2

）=0，
∴當x＞1時，g（x）＜0恒成立，
即f（x）＜

1

2

x+

1

2

的解集是（1，+∞）．
故選：A．

點評：本題考查了求不等式的解集的問題，解題時根據題意，利用構造函數的方法，由導數判定函數的單調性并求出不等式的解集，是中檔題．