Question

2．已知函數(shù)f（x）=e^x-mx^k（m，k∈R）定義域?yàn)椋?，+∞）．
（1）若k=2時，曲線y=f（x）在x=1和x=3處的切線互相平行，求實(shí)數(shù)m的值；
（2）若k=1時，函數(shù)f（x）在（1，+∞）上有最小值，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）若m=1時，函數(shù)f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，求整數(shù)k的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)f'（1）=f'（3），得到關(guān)于m的方程，解出即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式求出函數(shù)的單調(diào)性，得到關(guān)于m的不等式，解出即可；
（3）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到e^x-kx^k-1≥0在x∈（1，+∞）上恒成立，通過討論k的范圍，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出k的最大值即可．

解答 解：（1）k=2時，f（x）=e^x-mx²，
f'（x）=e^x-2mx，由題意f'（1）=f'（3），
∴e-2m=e³-6m，
∴$m=\frac{{{e^3}-e}}{4}$；
（2）k=1時，f（x）=e^x-mx，f'（x）=e^x-m，
∵f（x）在（1，+∞）上有最小值，∴m＞0，
令f'（x）=e^x-m=0，得x=lnm，
當(dāng)0＜x＜lnm時，f'（x）＜0，
當(dāng)x＞lnm時，f'（x）＞0，
故x=lnm是f（x）的極小值點(diǎn)，
又f（x）在（1，+∞）上有最小值，
∴l(xiāng)nm＞1，即m＞e；
（3）m=1時，f（x）=e^x-x^k，
由題意：f'（x）=e^x-kx^k-1≥0在x∈（1，+∞）上恒成立，
（ i） k≤0時，顯然成立．
（ ii）k＞0時，e^x≥kx^k-1在x∈（1，+∞）上恒成立，
即x≥ln（kx^k-1），即lnk+（k-1）lnx-x≤0在x∈（1，+∞）上恒成立
令g（x）=lnk+（k-1）lnx-x，x＞1$g'（x）=\frac{k-1}{x}-1=-\frac{x-（k-1）}{x}$
當(dāng)0＜k≤2時，g'（x）＜0在x∈（1，+∞）上恒成立，
∴g（1）≤0，所以lnk-1≤0，
∴0＜k≤e，又0＜k≤2，所以0＜k≤2．
當(dāng)k＞2時，g'（x）=0，所以x=k-1，
g（x）在（1，k-1）上單調(diào)遞增，在（k-1，+∞）上單調(diào)遞減，
所以g（k-1）≤0，即lnk+（k-1）ln（k-1）-（k-1）≤0，①
令h（k）=lnk+（k-1）ln（k-1）-（k-1），
k＞2$h'（k）=\frac{1}{k}+ln（k-1）$，
k＞2時h'（k）＞0恒成立，
所以h（k）在（2，+∞）上單調(diào)遞增，
因?yàn)閔（3）=ln3+2ln2-2=ln12-2＞0，
所以不等式①無解．
綜上，整數(shù)k的最大值為2．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．