Question

11．解關(guān)于x的不等式：
（1）ax²-（a+1）x+1＜0（a∈R）；
（2）ax²+（2a-1）x-2＜0（a∈R）；
（3）ax²-2x+1＜0（a∈R）；
（4）x²+x+m≤0（x＞0）

Answer 1

分析 根據(jù)字母的系數(shù)分類討論，即可求出不等式的解集．

解答 解：（1）ax²-（a+1）x+1＜0等價于（ax-1）（x-1）＜0（a∈R），
當a=0時，不等式的解集為（1，+∞），
當a＞0時，等價于（x-$\frac{1}{a}$）（x-1）＜0，
即當0＜a＜1時，不等式的解集為（1，$\frac{1}{a}$）
當a=1時，不等式的解集為空集，
當a＞1時，不等式的解集為（$\frac{1}{a}$，1），
當a＜0時，不等式等價于（x-$\frac{1}{a}$）（x-1）＞0，
即不等式的解集為（-∞，$\frac{1}{a}$）∪（1，+∞）
（2）ax²+（2a-1）x-2＜0等價于（x+2）（ax-1）＜0（a∈R）
當a=0時，不等式的解集為（-2，+∞），
當a＞0時，不等式等價于（x-$\frac{1}{a}$）（x+2）＜0，不等式的解集為（-2，$\frac{1}{a}$）
當a＜0時，不等式等價于（x-$\frac{1}{a}$）（x+2）＞0，
當-$\frac{1}{2}$＜a＜0時，不等式的解集為（-∞，$\frac{1}{a}$）∪（2，+∞），
當a=-$\frac{1}{2}$時，不等式的解集為（-∞，-2）∪（-2，+∞），
當a＜-$\frac{1}{2}$時，不等式的解集為（-∞，-2）∪（$\frac{1}{a}$，+∞），
（3）ax²-2x+1＜0（a∈R）；
當a=0時，不等式的解集為（$\frac{1}{2}$，+∞），
當a＞0時，且△=4-4a＞0時，即0＜a＜1時，不等式的解集為（$\frac{2-\sqrt{4-4a}}{2}$，$\frac{2+\sqrt{4-4a}}{2}$），
當a＞0是，且△=4-4a≤0時，即a≥1時，不等式的解集為空集，
當a＜0時，且△=4-4a＞0時，即a＜0時，不等式的解集為（-∞，$\frac{2-\sqrt{4-4a}}{2}$）∪（$\frac{2+\sqrt{4-4a}}{2}$，+∞），
（4）x²+x+m≤0（x＞0），
當△=1-4m＞0時，即m＜$\frac{1}{4}$時，x²+x+m=0的根為x=-$\frac{-1-\sqrt{1-4m}}{2}$（舍去）或x=$\frac{-1+\sqrt{1-4m}}{2}$，
若當$\frac{-1+\sqrt{1-4m}}{2}$＞0時，即m＜0時，不等式的解集為[0，$\frac{-1+\sqrt{1-4m}}{2}$]，
若當$\frac{-1+\sqrt{1-4m}}{2}$＜0時，即0＜m＜$\frac{1}{4}$時，不等式的解集為空集
若當$\frac{-1+\sqrt{1-4m}}{2}$=0時，即m=0時，不等式的解集為空集
當△=1-4m＜0時，即m＞$\frac{1}{4}$時，不等式的解集為空集，
當△=1-4m=0時，即m=$\frac{1}{4}$時，不等式的解集為空集，
綜上所述當m＜0時，不等式的解集為[0，$\frac{-1+\sqrt{1-4m}}{2}$]，當m≥0時，不等式的解集為空集．

點評 本題考查了含有字母系數(shù)的不等式的解法，關(guān)鍵是分類討論，屬于中檔題．