Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+3bx²-（a+3b）x+1（ab≠0）在x=1處取得極值，在x=2處的切線平行于向量

OP

=（b+5，5a）．
（1）求a，b的值，并求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）是否存在正整數(shù)m，使得方程f(x)=6x-

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在區(qū)間（m，m+1）內(nèi)有且只有兩個(gè)不等實(shí)根？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由函數(shù)f（x）=ax³+3bx²-（a+3b）x+1（ab≠0）在x=1處取得極值，且在x=2處的切線斜率值k，求導(dǎo)，可得1是f′（x）=0的兩根，且f′（0）=k，解方程組即可求得，a，b的值，從而求得f（x）的解析式；
（2）先把方程f(x)=6x-

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等價(jià)于18x3-36x2+19=0，在求出g（x）的導(dǎo)函數(shù)，判斷出g（x）的圖象變化規(guī)律，再利用零點(diǎn)存在性定理即可判斷是否存在正整數(shù)m滿足要求．

解答：解：（1）f'（x）=3ax²+6bx-（a+3b）
∴

f′(1)=0 f′(2)= 5a b+5

解得

a=6 b=-4

…（4分）
得f（x）=6x³-12x²+6x+1
∴f'（x）=18x²-24x+6=6（3x-1）（x-1），
由f′(x)＞0，得x＞1或x＜

1

3

，即f(x)在(1，+∞)和(-∞，

1

3

)上單調(diào)遞增．
由f′(x)＜0，得

1

3

＜x＜1，即f(x)在(

1

3

，1)上單調(diào)遞減 …（8分）
（2）方程f(x)=6x-

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等價(jià)于18x3-36x2+19=0
令g（x）=18x³-36x²+19
則g′(x)=54x2-72x=18x(3x-4)．令g′(x)=0，得x=0或x=

4

3

．
當(dāng)x∈(0，

4

3

)時(shí)，g′(x)＜0，∴g（x）是單調(diào)減函數(shù)；
當(dāng)x∈(

4

3

，+∞)時(shí)，g′(x)＞0，∴g（x）是單調(diào)增函數(shù)；
∵g(1)=1＞0，g(

4

3

)=-

7

3

＜0，g(2)=19＞0．
∴方程g(x)=0在區(qū)間(1，

4

3

)，(

4

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，2)內(nèi)分別有唯一實(shí)根．…（12分）
∴存在正整數(shù)m=1，使得方程f(x)=6x-

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在區(qū)間（1，2）上有且只有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：此題是中檔題．考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值問題，和利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線問題，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化的思想，考查了學(xué)生靈活應(yīng)用知識(shí)分析解決問題的能力．