Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=|x+2|+|x|
（1）解不等式f（x）≤4；
（2）若對(duì)x∈R，恒有f（x）＞|3a﹣1|成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數(shù)f（x）=|x+2|+|x|表示數(shù)軸上的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到﹣2、0對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和，

而﹣3和1對(duì)應(yīng)點(diǎn)到﹣2、0對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和正好等于4，故不等式f（x）≤4的解集為[﹣3，1]．

（2）解：函數(shù)f（x）=|x+2|+|x|表示數(shù)軸上的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到﹣2、0對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和，它的最小值為2，．

若對(duì)x∈R，恒有f（x）＞|3a﹣1|成立，則有2＞|3a﹣1|，即﹣2＜3a﹣1＜2，求得﹣ ＜a＜1，

故a的取值范圍為（﹣ ，1）

【解析】（1）由條件利用絕對(duì)值的意義求得不等式f（x）≤4的解集．（2）根據(jù)絕地值的意義求得函數(shù)f（x）=|x+2|+|x|的最小值為2，故有2＞|3a﹣1|，由此求得a的范圍．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解絕對(duì)值不等式的解法(含絕對(duì)值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規(guī)律：關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值的符號(hào))．