Question

19．在平面直角坐標系xOy中，已知點A，B分別為x軸，y軸上一點，且|AB|=1，若P（1，$\sqrt{3}$ ），則|$\overrightarrow{AP}$+$\overrightarrow{BP}$+$\overrightarrow{OP}$|的取值范圍是（　　）

• A． [5，6]
• B． [6，7]
• C． [6，9]
• D． [5，7]

Answer 1

分析 設(shè)出A，B兩點坐標，求出三個向量的坐標，對|$\overrightarrow{AP}$+$\overrightarrow{BP}$+$\overrightarrow{OP}$|取平方得出關(guān)于A點坐標的函數(shù)，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求出|$\overrightarrow{AP}$+$\overrightarrow{BP}$+$\overrightarrow{OP}$|的范圍．

解答 解：設(shè)A（x，0），B（0，y），則x²+y²=1．
∴$\overrightarrow{AP}$=（1-x，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{BP}$=（1，$\sqrt{3}-$y）.$\overrightarrow{OP}$=（1，$\sqrt{3}$）．
∴$\overrightarrow{AP}$+$\overrightarrow{BP}$+$\overrightarrow{OP}$=（3-x，3$\sqrt{3}-y$）．
∴|$\overrightarrow{AP}$+$\overrightarrow{BP}$+$\overrightarrow{OP}$|²=（3-x）²+（3$\sqrt{3}$-y）²=37-6x-6$\sqrt{3}$y．
令x=cosθ，y=sinθ，
則|$\overrightarrow{AP}$+$\overrightarrow{BP}$+$\overrightarrow{OP}$|²=37-6cosθ-6$\sqrt{3}$sinθ=37-12sin（θ+$\frac{π}{6}$）．
∴當sin（θ+$\frac{π}{6}$）=-1時，|$\overrightarrow{AP}$+$\overrightarrow{BP}$+$\overrightarrow{OP}$|取得最大值$\sqrt{37+12}$=7，
當sin（θ+$\frac{π}{6}$）=1時，|$\overrightarrow{AP}$+$\overrightarrow{BP}$+$\overrightarrow{OP}$|取得最小值$\sqrt{37-12}$=5．
故選：D．

點評 本題考查了平面向量的坐標運算，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題．