Question

4．拋物線C：y²=2px（p＞0）與橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）有相同焦點F，兩條曲線在第一象限內(nèi)的交點為A，若直線OA的斜率為2，則橢圓的離心率為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$
• C． $\sqrt{2}$-1
• D． $\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

Answer 1

分析 由題意可得：$\frac{p}{2}$=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$．設A（x₀，2x₀）．代入y²=2px．則$4{x}_{0}^{2}$=2px₀，x₀＞0，解得x₀．把x=c代入橢圓方程可得：$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，y＞0．解得y=$\frac{^{2}}{a}$，可得p=$\frac{^{2}}{a}$．于是$\frac{^{2}}{a}$=2$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$，進而得出離心率．

解答 解：由題意可得：$\frac{p}{2}$=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$．
設A（x₀，2x₀）．代入y²=2px．
則$4{x}_{0}^{2}$=2px₀，x₀＞0，解得x₀=$\frac{p}{2}$．
把x=c代入橢圓方程可得：$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，y＞0．
解得y=$\frac{^{2}}{a}$．
∴p=$\frac{^{2}}{a}$．
∴$\frac{^{2}}{a}$=2$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$，
化為：$（\frac{^{2}}{{a}^{2}}）^{2}$+4$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$-4=0，
解得：$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=2$\sqrt{2}$-2．
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{3-2\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$-1．
故選：C．

點評 本題考查了橢圓與拋物線的標準方程及其性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．