Question

13．已知函數(shù)f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）+cos（2x-$\frac{π}{6}$），x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）將y=f（x）圖象上所有點向左平行移動$\frac{π}{6}$個單位長度，得到y(tǒng)=g（x）的圖象，求函數(shù)y=g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等變換，化簡函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的周期性，求得f（x）的最小正周期．
（2）利用誘導(dǎo)公式、函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，求得g（x）的解析式，再利用余弦函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)y=g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）+cos（2x-$\frac{π}{6}$）
=sin2x•cos$\frac{π}{3}$+cos2xsin$\frac{π}{3}$+cos2xcos$\frac{π}{6}$+sin2xsin$\frac{π}{6}$
=sin2x+$\sqrt{3}$cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），
∴f（x）的最小正周期為$\frac{2π}{2}$=π．
（2）將y=f（x）圖象上所有點向左平行移動$\frac{π}{6}$個單位長度，
得到y(tǒng)=g（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$+$\frac{π}{3}$）=2cos（2x+$\frac{π}{6}$） 的圖象，
令2kπ-π≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ，求得kπ-$\frac{7π}{12}$≤x≤kπ-$\frac{π}{12}$，
可得函數(shù)g（x）的增區(qū)間為[kπ-$\frac{7π}{12}$，kπ-$\frac{π}{12}$]，k∈Z．

點評 本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的周期性，誘導(dǎo)公式，余弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．