Question

15．在△ABC中，AC=4$\sqrt{3}，∠ABC={60°}$，D為BC邊上一點(diǎn)，BD=AB，設(shè)B，C到直線AD的距離分別為d₁和d₂，則d₁+d₂的最大值為（　　）

• A． 2
• B． 4
• C． $4\sqrt{3}$
• D． $2\sqrt{3}$

Answer 1

分析 直接根據(jù)直角三角函數(shù)的定義建立等式關(guān)系，利用基本不等式的性質(zhì)求解即可．

解答 解：由題意△ABC中，AC=4$\sqrt{3}，∠ABC={60°}$，D為BC邊上一點(diǎn)，
BD=AB，
如圖：可知，△ABD是等邊三角形，
B到直線AD的距離為d₁，
可得AD=2d₁tan30°；
C到直線AD的距離為d₂，
可得DF=d₂tan30°；
∵△AFC是直角三角形，AC=4$\sqrt{3}$，
CF²+AF²=AC²，
即（2d₁tan30°+d₂tan30°）²+d₂²=48．
整理可得：${z9bj5do_{1}}^{2}+9hkobjs_{1}g944vts_{2}+{jsrpyxl_{2}}^{2}=36$．
則$（9r5lfnl_{1}+p0eyr04_{2}）^{2}-36=ny9xv0w_{1}lwf0ymu_{2}$，
∵$rrkjsgf_{1}p60dc49_{2}≤\frac{（inw9ksw_{1}+w54buxv_{2}）^{2}}{4}$（當(dāng)且僅當(dāng)d₁=d₂的時(shí)，取等號(hào)）
∴d₁+d₂≤$4\sqrt{3}$．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的定義在直角三角形中的運(yùn)用和基本不等式的性質(zhì)求解最值的運(yùn)用．屬于中檔題．