【題目】函數(shù)在區(qū)間上的最小值記為．

（1）當(dāng)時，求函數(shù)在區(qū)間上的值域；

（2）求的函數(shù)表達(dá)式；

（3）求的最大值．

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）將代入函數(shù)的解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值，從而可得出此時函數(shù)在區(qū)間上的值域；

（2）對二次函數(shù)的對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系進(jìn)行分類討論，分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，可得出函數(shù)在區(qū)間上的最小值的表達(dá)式；

（3）求出分段函數(shù)在每一段定義域上的值域，可得出該函數(shù)的最大值.

（1）當(dāng)時，，

當(dāng)時，函數(shù)取最小值，即；

當(dāng)時，函數(shù)取最大值，即.

因此，函數(shù)在區(qū)間上的值域為；

（2）①當(dāng)時，函數(shù)的對稱軸，

此時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則；

②當(dāng)時，函數(shù)的對稱軸，

此時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

則；

③當(dāng)時，函數(shù)的對稱軸，

此時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則．

綜上所述，；

（3）①當(dāng)時，；

②當(dāng)時，；

當(dāng)時，．

由①②③可知．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（，且）.

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）求函數(shù)在上的最大值.

【答案】（Ⅰ）的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.（Ⅱ）當(dāng)時， ；當(dāng)時， .

【解析】【試題分析】(I)利用的二階導(dǎo)數(shù)來研究求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(II) 由（Ⅰ）得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由此可知.利用導(dǎo)數(shù)和對分類討論求得函數(shù)在不同取值時的最大值.

【試題解析】

（Ⅰ），

設(shè) ，則.

∵， ，∴在上單調(diào)遞增，

從而得在上單調(diào)遞增，又∵，

∴當(dāng)時， ，當(dāng)時， ，

因此， 的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

由此可知.

∵， ，

∴.

設(shè)，

則 .

∵當(dāng)時， ，∴在上單調(diào)遞增.

又∵，∴當(dāng)時， ；當(dāng)時， .

①當(dāng)時， ，即，這時， ；

②當(dāng)時， ，即，這時， .

綜上， 在上的最大值為：當(dāng)時， ；

當(dāng)時， .

[點睛]本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性,考查利用導(dǎo)數(shù)求最大值. 與函數(shù)零點有關(guān)的參數(shù)范圍問題，往往利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點，并結(jié)合特殊點，從而判斷函數(shù)的大致圖像，討論其圖象與軸的位置關(guān)系，進(jìn)而確定參數(shù)的取值范圍；或通過對方程等價變形轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點問題．

【題型】解答題
【結(jié)束】
22

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在直角坐標(biāo)系中，圓的普通方程為. 在以坐標(biāo)原點為極點，軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線的極坐標(biāo)方程為 .

（Ⅰ） 寫出圓 的參數(shù)方程和直線的直角坐標(biāo)方程；

（ Ⅱ ） 設(shè)直線 與軸和軸的交點分別為，為圓上的任意一點，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在一次數(shù)學(xué)測驗后，班級學(xué)委對選答題的選題情況進(jìn)行統(tǒng)計，如下表：

幾何證

明選講

極坐標(biāo)與

參數(shù)方程

不等式

選講

合計

男同學(xué)

12

4

6

22

女同學(xué)

0

8

12

20

合計

12

12

18

42

（1）在統(tǒng)計結(jié)果中，如果把幾何證明選講和極坐標(biāo)與參數(shù)方程稱為“幾何類”，把不等式選講稱為“代數(shù)類”，我們可以得到如下2×2列聯(lián)表.

幾何類

代數(shù)類

合計

男同學(xué)

16

6

22

女同學(xué)

8

12

20

合計

24

18

42

能否認(rèn)為選做“幾何類”或“代數(shù)類”與性別有關(guān)，若有關(guān)，你有多大的把握？

（2）在原始統(tǒng)計結(jié)果中，如果不考慮性別因素，按分層抽樣的方法從選做不同選答題的同學(xué)中隨機選出7名同學(xué)進(jìn)行座談．已知這名學(xué)委和2名數(shù)學(xué)課代表都在選做“不等式選講”的同學(xué)中．

①求在這名學(xué)委被選中的條件下，2名數(shù)學(xué)課代表也被選中的概率；

②記抽取到數(shù)學(xué)課代表的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．

下面臨界值表僅供參考：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】學(xué)校藝術(shù)節(jié)對同一類的，，，四項參賽作品，只評一項一等獎，在評獎揭曉前，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)對這四項參賽作品預(yù)測如下：

甲說：“是或作品獲得一等獎”；

乙說：“作品獲得一等獎”；

丙說：“，兩項作品未獲得一等獎”；

丁說：“是作品獲得一等獎”.

若這四位同學(xué)中只有兩位說的話是對的，則獲得一等獎的作品是__________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某公司生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品所得利潤分別為和（萬元），它們與投入資金（萬元）的關(guān)系有經(jīng)驗公式，．今將120萬元資金投入生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，并要求對甲、乙兩種產(chǎn)品的投資金額都不低于20萬元．

（Ⅰ）設(shè)對乙產(chǎn)品投入資金萬元，求總利潤（萬元）關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式及其定義域；

（Ⅱ）如何分配使用資金，才能使所得總利潤最大？最大利潤為多少？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】第屆世界杯足球賽在俄羅斯進(jìn)行，某校足球協(xié)會為了解該校學(xué)生對此次足球盛會的關(guān)注情況，隨機調(diào)查了該校名學(xué)生，并將這名學(xué)生分為對世界杯足球賽“非常關(guān)注”與“一般關(guān)注”兩類，已知這名學(xué)生中男生比女生多人，對世界杯足球賽“非常關(guān)注”的學(xué)生中男生人數(shù)與女生人數(shù)之比為，對世界杯足球賽“一般關(guān)注”的學(xué)生中男生比女生少人.

（1）根據(jù)題意建立列聯(lián)表，判斷是否有的把握認(rèn)為男生與女生對世界杯足球賽的關(guān)注有差異？

（2）該校足球協(xié)會從對世界杯足球賽“非常關(guān)注”的學(xué)生中根據(jù)性別進(jìn)行分層抽樣，從中抽取人，再從這人中隨機選出人參與世界杯足球賽宣傳活動，求這人中至少有一個男生的概率.

附：，.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在三棱錐中，，，為的中點．

（1）證明：平面；

（2）若點在棱上，且，求點到平面的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某校100名學(xué)生期中考試語文成績的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區(qū)間是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．

（1）求圖中的值；

（2）根據(jù)頻率分布直方圖，估計這100名學(xué)生語文成績的平均分，眾數(shù)，中位數(shù)；

（3）若這100名學(xué)生語文成績某些分?jǐn)?shù)段的人數(shù)（）與數(shù)學(xué)成績相應(yīng)分?jǐn)?shù)段的人數(shù)（）之比如下表所示，求數(shù)學(xué)成績在[50，90）之外的人數(shù)．

分?jǐn)?shù)段

[50，60）

[60，70）

[70，80）

[80，90）

1：1

2：1

3：4

4：5

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】(2015·山東） 如圖，三棱臺-中，分別為,的中點.

（1）求證：平面；
（2）若,,求證：平面。

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