Question

已知函數(shù)f（x）=

ax-1

ax+1

（a＞0且a≠1）
（1）求y=f（x）的反函數(shù)y=f^-1（x）；
（2）判斷函數(shù)y=f^-1（x）的奇偶性；
（3）解不等式f^-1（x）＞1．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),反函數(shù)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由函數(shù)的解析式求出自變量，再把自變量和函數(shù)交換位置，即得反函數(shù)的解析式，并求出反函數(shù)的定義域；
（2）根據(jù)（1）求出的定義域和解析式，得定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)f^-1（-x），再由奇函數(shù)的定義下結(jié)論；
（3）將不等式化為：loga

1+x

1-x

＞log

a a

，再根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性對(duì)a分類(lèi)，分別列出不等式組（注意定義域）求出x的范圍，即不等式的解集．

解答： 解：（1）由y=

ax-1

ax+1

得，ax=

1+y

1-y

，則x=loga

1+y

1-y

，
由

1+y

1-y

＞0得，（y+1）（y-1）＜0，解得-1＜y＜1，
∴y=f（x）的反函數(shù)：f-1(x)=loga

1+x

1-x

，x∈（-1，1）（4分）
（2）由（1）得f-1(x)=loga

1+x

1-x

的定義域是（-1，1），
且f-1(-x)=loga

1-x

1+x

=loga(

1+x

1-x

)-1=-f^-1（x），
則函數(shù)f-1(x)=loga

1+x

1-x

是奇函數(shù)       （8分）
（3）∵f^-1（x）＞1，∴loga

1+x

1-x

＞log

a a

，
①當(dāng)a＞1時(shí)，

1+x 1-x ＞a -1＜x＜1

，解得x∈(

a-1

a+1

，1)，
②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，

1+x 1-x ＜a -1＜x＜1

，解得x∈(-1，

a-1

a+1

)，
綜上得，不等式的解集是：當(dāng)a＞1時(shí)，(

a-1

a+1

，1)；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，(-1，

a-1

a+1

)（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、定義域，求反函數(shù)，函數(shù)的奇偶性的判斷方法，以及對(duì)數(shù)不等式，求出反函數(shù)，是解題的難點(diǎn)．