Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的各項都為正數(shù)，其前n項和為S_n，已知對任意n∈N^*，2

Sn

是

a

n

+2和a_n的等比中項．
（1）證明：數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）證明：

1

2

≤

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜1；
（3）設(shè)集合M={m|m=2k，k∈Z，且1000≤k＜1500，若存在m∈M，使對滿足n＞m的一切正整數(shù)n，不等式2S_n-4200＞

a 2 n

2

恒成立，試問：這樣的正整數(shù)m共有多少個？

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）由已知條件得到數(shù)列遞推式，取n=1求得首項，取n≥2得另一遞推式，作差后得到數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）把

1

Sn

裂項，利用裂項相消法求和后放縮得答案；
（3）由2Sn-4200＞

a 2 n

2

列式求得n的范圍，結(jié)合M={2000，2002，…，2008，2010，2012，…，2998}得到滿足條件的m值，由等差數(shù)列的求和公式得答案．

解答： （1）證明：由已知，4Sn=

a

2 n

+2an，且a_n＞0．
當n=1時，4a1=

a

2 1

+2a1，解得a₁=2．
當n≥2時，有4Sn-1=

a

2 n-1

+2an-1．
于是4Sn-4Sn-1=

a

2 n

-

a

2 n-1

+2an-2an-1，即4an=

a

2 n

-

a

2 n-1

+2an-2an-1．
于是

a

2 n

-

a

2 n-1

=2an+2an-1，即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）=2（a_n+a_n-1）．
∵a_n+a_n-1＞0，
∴a_n-a_n-1=2（n≥2）．
故數(shù)列{a_n}是首項為2，公差為2的等差數(shù)列，且a_n=2n；
（2）證明：∵a_n=2n，則

1

Sn

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)=1-

1

n+1

＜1．
∵1-

1

n+1

隨著n的增大而增大，
∴當n=1時取最小值

1

2

．
故原不等式成立；
（3）解：由2Sn-4200＞

a 2 n

2

，得2n（n+1）-4200＞2n²，
∴n＞2100．
由題設(shè)，M={2000，2002，…，2008，2010，2012，…，2998}．
∵n＞2100，
∴m=2100，2102，…，2998均滿足條件，且這些數(shù)組成首項為2100，公差為2的等差數(shù)列．
設(shè)這個等差數(shù)列共有k項，則2100+2（k-1）=2998，解得k=450．
故集合M中滿足條件的正整數(shù)m共有450個．

點評：本題考查了數(shù)列與不等式的綜合，考查了等差關(guān)系的確定，訓(xùn)練了裂項相消法求數(shù)列的和，是壓軸題．