Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率為，且橢圓短軸的一個(gè)頂點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離等于．

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)經(jīng)過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，弦的中垂線交軸于點(diǎn)．

①求實(shí)數(shù)的取值范圍；

②若，求實(shí)數(shù)的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①,②.

【解析】

（1）根據(jù)橢圓的基本性質(zhì)列出關(guān)于的方程組，解出即可得橢圓的方程；

（2）由題意得，設(shè)直線的方程為，代入橢圓中，根據(jù)韋達(dá)定理可求出的取值范圍，①設(shè)的中點(diǎn)為，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)直線斜率的關(guān)系化簡(jiǎn)可得，結(jié)合的范圍即可求出的取值范圍；②得，聯(lián)立方程可得，根據(jù)韋達(dá)定理可得，，即可求出結(jié)果.

（1）依題意可得，解得，，

故橢圓方程為.

（2）由題意得，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，

整理得，

由，解得，

設(shè)，

∴，，

①設(shè)的中點(diǎn)為，

則有，則，

當(dāng)時(shí)，即，即，，
解得，

當(dāng)時(shí)，可得，符合，

∴，由，解得，

即實(shí)數(shù)的取值范圍為.

②由題意得且，

設(shè)或點(diǎn)的坐標(biāo)為

由，

消去，可得，∴，也是此時(shí)方程的兩個(gè)根，

∴，，

∴，解得，

∴.