Question

已知半橢圓與半橢圓組成的曲線稱為“果圓”，其中，是對應的焦點。A₁，A₂和B₁，B₂是“果圓”與x，y軸的交點，M是線段A₁A₂的中點．
(1) 若三角形是底邊F₁F₂長為6，腰長為5的等腰三角形，求“果圓”的方程；
(2)若“果圓”方程為：，過F₀的直線l交“果圓”于y軸右邊的Q，N點，求△OQN的面積S_△OQN的取值范圍
(3) 若是“果圓”上任意一點，求取得最小值時點的橫坐標．

Answer 1

（1），
（2）
（3）或

(I)∵
∴，，
于是，c²=16，a²=b²+c²=41，
所求“果圓”方程為，
(Ⅱ)①若直線l的斜率k存在，則由圖可知，k²>3．設直線l的方程為：y=k(x-1)，設點Q，N的坐標分別為(x₁，y₁)，(x₂，y₂)
由消x，得
∴，
∴

∵


②若直線l⊥x軸，則︱QN︱=3，故
綜上，得
（3）設是“果圓”的半橢圓上任意一點．設，則

，
， 的最小值只能在或處取到．
即當取得最小值時，在點或處．
，且和同時位于“果圓”的半橢圓和半橢圓上當位于“果圓”的半橢圓上時．             

．
當，即時，的最小值在時取到，
此時的橫坐標是．                                       
當，即時，由于在時是遞減的，的最小值在時取到，此時的橫坐標是．                               
綜上所述，若，當取得最小值時，點的橫坐標是；若，當取得最小值時，點的橫坐標是或．