如圖,已知圓E:(x+
3
)2+y2
=16,點(diǎn)F(
3
,0)
,P是圓E上任意一點(diǎn).線段PF的垂直平分線和半徑PE相交于Q.
(Ⅰ)求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡Γ的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線l與(Ⅰ)中軌跡Γ相交于A,B兩點(diǎn),直線OA,l,OB的斜率分別為k1,k,k2(其中k>0).△OAB的面積為S,以O(shè)A,OB為直徑的圓的面積分別為S1,S2.若k1,k,k2恰好構(gòu)成等比數(shù)列,求
S1+S2
S
的取值范圍.
考點(diǎn):直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題,直線和圓的方程的應(yīng)用
專題:圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題
分析:(Ⅰ)連接QF,根據(jù)題意,|QP|=|QF|,可得|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4>|EF|=2
3
,故動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡Γ是以E,F(xiàn)為焦點(diǎn),長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓.解出即可.
(Ⅱ)設(shè)直線l的方程為y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2).與橢圓的方程聯(lián)立可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,利用根與系數(shù)的關(guān)系及其k1,k,k2構(gòu)成等比數(shù)列,可得km(x1+x2)+m2=0,解得k2=
1
4
,k=
1
2
.利用△>0,解得m∈(-
2
,
2
)
,且m≠0.利用S=
1
2
|AB|d
=
1
2
1+k2
|x1-x2|
|m|
1+k2
=
2-m2
|m|
,
x
2
1
4
+
y
2
1
=
x
2
2
4
+
y
2
2
=1
,可得S1+S2=
π
4
(
x
2
1
+
y
2
1
+
x
2
2
+
y
2
2
)
=
4
為定值.代入利用基本不等式的性質(zhì)即可得出
S1+S2
S
的取值范圍.
解答: 解:(Ⅰ)連接QF,根據(jù)題意,|QP|=|QF|,
則|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4>|EF|=2
3

故動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡Γ是以E,F(xiàn)為焦點(diǎn),長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓.
設(shè)其方程為
x2
a2
+
x2
b2
=1(a>b>0)
,
可知a=2,c=
a2-b2
=
3
,則b=1,
∴點(diǎn)Q的軌跡Γ的方程為為
x2
4
+y2=1

(Ⅱ)設(shè)直線l的方程為y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2).
聯(lián)立
y=kx+m
x2+4y2=4
,化為(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,
∴△=16(1+4k2-m2)>0,x1+x2=-
8km
1+4k2
,x1x2=
4(m2-1)
1+4k2

∵k1,k,k2構(gòu)成等比數(shù)列,
∴k2=k1k2=
(kx1+m)(kx2+m)
x1x2
,化為:km(x1+x2)+m2=0,
-8k2m2
1+4k2
+m2=0,解得k2=
1
4

∵k>0,
∴k=
1
2

此時(shí)△=16(2-m2)>0,解得m∈(-
2
,
2
)

又由A、O、B三點(diǎn)不共線得m≠0,從而m∈(-
2
,0)∪(0,
2
)

故S=
1
2
|AB|d
=
1
2
1+k2
|x1-x2|
|m|
1+k2
,=
1
2
(x1+x2)2-4x1x2
|m|=
2-m2
|m|
,
x
2
1
4
+
y
2
1
=
x
2
2
4
+
y
2
2
=1
,
則S1+S2=
π
4
(
x
2
1
+
y
2
1
+
x
2
2
+
y
2
2
)
=
π
4
(
3
4
x
2
1
+
3
4
x
2
2
+2)
=
16
[(x1+x2)2-2x1x2]
+
π
2
=
4
為定值.
S1+S2
S
=
4
×
1
(2-m2)m2
4
,當(dāng)且僅當(dāng)m=±1時(shí)等號(hào)成立.
綜上:
S1+S2
S
∈[
4
,+∞)
點(diǎn)評(píng):本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線的距離公式、三角形的面積計(jì)算公式、基本不等式的性質(zhì)、等比數(shù)列的性質(zhì),考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于難題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

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下列判斷正確的是( 。
A、若一條直線l與平面α平行,則直線l與平面α內(nèi)所有直線平行
B、若兩條直線l1,l2都與平面α平行,則l1∥l2
C、若一條直線與兩個(gè)平面α,β都垂直,則平面α∥平面β
D、若一條直線與兩個(gè)平面α,β都平行,則平面α∥平面β

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若函數(shù)y=
g(x),x>0
f(x),x<0
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在△ABC中,BC,CA,AB邊上,分別有3.4.5個(gè)點(diǎn)(不包括△ABC的頂點(diǎn))
(1)從三條邊上的12個(gè)點(diǎn)中取3個(gè)點(diǎn)構(gòu)成三角形,這樣的三角形共有多少個(gè)?
(2)若同△ABC的3個(gè)頂點(diǎn)共15個(gè)點(diǎn)中取出3點(diǎn)構(gòu)成三角形,這樣的三角形共多少個(gè)?

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化簡(jiǎn):
sin(α+nπ)+sin(α-nπ)
sin(α+nπ)cos(α-nπ)
(n∈Z).

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設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+ca≠0,x∈R滿足條件:
①x≤f(x)≤
1
2
(1+x2),
②f(-1+x)=f(-1-x);
③f(x)在R上的最小值為0.
(Ⅰ)求f(1)的值;
(Ⅱ)求f(x)的解析式;
(Ⅲ)求最大值m(m>1),使得存在t∈R,只要x∈[1,m],都有f(x+t)≤x成立.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知兩個(gè)單位向量
a
,
b
的夾角為30°,
c
=t
a
+
b
,
d
=
a
-t
b
.若
c
d
=0,則正實(shí)數(shù)t=
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)拋物線y2=4x上的一點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離是4,則點(diǎn)P到該拋物線焦點(diǎn)的距離為( 。
A、3B、4C、5D、6

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