Question

10．如果一個點時一個指數(shù)函數(shù)和一個對數(shù)函數(shù)的圖象的交點，那么稱這個點為“好點”，下列四個點P₁（1，1），P₂（1，2），P₃（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），P₄（2，2）中，“好點”的個數(shù)為（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 可設指數(shù)函數(shù)為y=a^x，對數(shù)函數(shù)為y=log_bx，容易判斷P₁，P₂不在對數(shù)函數(shù)圖象上，從而判斷這兩點不是“好點”，然后將P₃的坐標分別代入指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)解析式，從而可解出a，b，進而判斷出P₃為“好點”，同樣的方法可判斷P₄為好點，進而找出正確選項．

解答 解：設指數(shù)函數(shù)為y=a^x，對數(shù)函數(shù)為y=log_bx；
對于對數(shù)函數(shù)，x=1時，y=0，則P₁，P₂不是對數(shù)函數(shù)圖象上的點；
∴P₁，P₂不是好點；
將P₃的坐標分別代入指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)解析式得：
$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}}\\{lo{g}_\frac{1}{2}=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$；
解得$a=b=\frac{1}{4}$；
即P₃是指數(shù)函數(shù)$y=（\frac{1}{4}）^{x}$和對數(shù)函數(shù)$y=lo{g}_{\frac{1}{4}}x$的交點，即P₃為“好點”；
同樣，將P₄坐標代入函數(shù)解析式得：
$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=2}\\{lo{g}_2=2}\end{array}\right.$；
解得$a=b=\sqrt{2}$；
∴P₄是“好點”；
∴“好點”個數(shù)為2．
故選B．

點評 考查指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)解析式的一般形式，理解“好點”的定義，以及指數(shù)式和對數(shù)式的互化．