9.已知數(shù)列{an}是一個等差數(shù)列,且a2=1,a5=-5.
(1)求{an}的通項an;
(2)求{an}前n項和Sn的最大值;
(3)設(shè)bn=$\frac{1}{(4-{a}_{n})(4-{a}_{n+1})}$,數(shù)列{bn}的前n項的和記為Tn,求Tn

分析 (1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,由題意和等差數(shù)列的通項公式列出方程組,求出a1和d,代入等差數(shù)列的通項公式求出an
(2)由(1)和等差數(shù)列的前n項和公式求出Sn,利用配方法化簡后,由二次函數(shù)的性質(zhì)求出Sn的最大值;
(3)由(1)化簡bn,利用裂項相消法求出前n項的和Tn

解答 解:(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,…(1分)
由已知條件得,$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+d=1}\\{{a}_{1}+4d=-5}\end{array}\right.$,…(2分)
解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=3}\\{d=-2}\end{array}\right.$  …(3分)
所以an=3+(n-1)•(-2)=-2n+5;…(4分)
(2)由(1)得,Sn=$\frac{n({a}_{1}+{a}_{n})}{2}$=$\frac{n(3-2n+5)}{2}$
=-n2+4n=-(n-2)2+4.…(6分)
所以當n=2時,Sn取到最大值是4;  …(8分)
(3)由(1)得,bn=$\frac{1}{(4-{a}_{n})(4-{a}_{n+1})}$=$\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$
=$\frac{1}{2}$($\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$),…(10分)
所以Tn=b1+b2+…+bn-1+bn
=$\frac{1}{2}[(1-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})+…+(\frac{1}{2n-3}-\frac{1}{2n-1})+(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1})]$
=$\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2n+1})=\frac{n}{2n+1}$----(12分)

點評 本題考查等差數(shù)列的通項公式,等差數(shù)列的前n項和公式以及最值問題,以及裂項相消法求數(shù)列的和,考查方程思想,化簡、變形能力.

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A.[2,68]B.[4,68]C.[2,2$\sqrt{17}$]D.[$\sqrt{2}$,2$\sqrt{17}$]

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A.1B.2C.3D.4

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(2)當x∈[-2,1]時,f(x)≥-3恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.

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(2)若邊PC與底面ABCD所成角的正切值為1,求平面PAD與平面PBC所成的二面角的余弦值.

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