Question

9．求適合下列條件的雙曲線的標準方程：
（1）半實軸長為4，半虛軸長為3；
（2）實軸長為12，焦距為14，焦點在y軸上；
（3）漸近線方程為y=±$\frac{3}{5}$x，焦點坐標為（±$\sqrt{2}$，0）．

Answer 1

分析 根據雙曲線的定義與簡單幾何性質，求出雙曲線的標準方程即可．

解答 解：（1）半實軸長為a=4，半虛軸長為b=3，
∴雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1或$\frac{{y}^{2}}{16}$-$\frac{{x}^{2}}{9}$=1；
（2）實軸長為2a=12，焦距為2c=14，
∴a=6，c=7，
∴b²=c²-a²=49-36=13，
又焦點在y軸上，
∴雙曲線的方程為$\frac{{y}^{2}}{36}$-$\frac{{x}^{2}}{13}$=1；
（3）漸近線方程為y=±$\frac{3}{5}$x，焦點坐標為（±$\sqrt{2}$，0），
∴$\frac{a}$=$\frac{3}{5}$，c=$\sqrt{2}$，
∴c²=a²+b²=a²+$\frac{9}{25}$a²=$\frac{34}{25}$a²=2，
解得a²=$\frac{25}{17}$，b²=$\frac{9}{17}$；
∴$\frac{{17x}^{2}}{25}$-$\frac{{17y}^{2}}{9}$=1．

點評 本題考查了雙曲線的定義、標準方程與簡單幾何性質的應用問題，是基礎題目．