Question

9．求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：
（1）半實(shí)軸長(zhǎng)為4，半虛軸長(zhǎng)為3；
（2）實(shí)軸長(zhǎng)為12，焦距為14，焦點(diǎn)在y軸上；
（3）漸近線方程為y=±$\frac{3}{5}$x，焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±$\sqrt{2}$，0）．

Answer 1

分析 根據(jù)雙曲線的定義與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程即可．

解答 解：（1）半實(shí)軸長(zhǎng)為a=4，半虛軸長(zhǎng)為b=3，
∴雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1或$\frac{{y}^{2}}{16}$-$\frac{{x}^{2}}{9}$=1；
（2）實(shí)軸長(zhǎng)為2a=12，焦距為2c=14，
∴a=6，c=7，
∴b²=c²-a²=49-36=13，
又焦點(diǎn)在y軸上，
∴雙曲線的方程為$\frac{{y}^{2}}{36}$-$\frac{{x}^{2}}{13}$=1；
（3）漸近線方程為y=±$\frac{3}{5}$x，焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±$\sqrt{2}$，0），
∴$\frac{a}$=$\frac{3}{5}$，c=$\sqrt{2}$，
∴c²=a²+b²=a²+$\frac{9}{25}$a²=$\frac{34}{25}$a²=2，
解得a²=$\frac{25}{17}$，b²=$\frac{9}{17}$；
∴$\frac{{17x}^{2}}{25}$-$\frac{{17y}^{2}}{9}$=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．