Question

已知函數(shù)f（x）=aln（x+1）+

1

2

x2-ax+1（a＞0）．
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；
（Ⅱ）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把x=0代入函數(shù)f（x）的解析式中求出f（0）的值，確定出切點坐標，利用求導(dǎo)法則求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，把x=0代入導(dǎo)函數(shù)中求出f′（0）的值即為切線的斜率，根據(jù)切點坐標和斜率寫出切線方程即可；
（Ⅱ）先求出f（x）的定義域，然后領(lǐng)導(dǎo)函數(shù)等于0求出x的值，利用x的值分a大于1，a大于0小于1和a=1三種情況討論導(dǎo)函數(shù)的正負確定函數(shù)的單調(diào)性進而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的增減性即可得到函數(shù)的極大值和極小值．

解答：解：（Ⅰ）f（0）=1，f′ (x)=

a

x+1

+x-a=

x(x-a+1)

x+1

，（2分）
f′（0）=0，所以函數(shù)y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程為y=1；（14分）
（Ⅱ）函數(shù)的定義域為（-1，+∞），
令f'（x）=0，得

x(x-a+1)

x+1

=0，
解得：x=0，x=a-1，（15分）
當a＞1時，列表：

x	（-1，0）	0	（0，a-1）	a-1	（a-1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大	↘	極小	↗

可知f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（0，a-1），增區(qū)間是（-1，0）∪（a-1，+∞）；
極大值為f（0）=1，極小值為f(a-1)=alna-

1

2

a2+

3

2

；（8分）
當0＜a＜1時，列表：

x	（-1，a-1）	a-1	（a-1，0）	0	（0，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大	↘	極小	↗

可知f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（a-1，0），增區(qū)間是（-1，a-1）∪（0，+∞）；
極大值為f(a-1)=alna-

1

2

a2+

3

2

，極小值為f（0）=1（11分）
當a=1時，f'（x）≥0，可知函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上單增，無極值．（13分）

點評：此題考查學生會利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點切線方程的斜率，會利用導(dǎo)函數(shù)的正負判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間且根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的極值，是一道中檔題．學生做第二問時注意求出函數(shù)的定義域．