Question

9．已知函數(shù)f（x）=2sin（$\frac{1}{3}$x-$\frac{π}{6}$），x∈R．
（1）求f（0）的值；
（2）設α∈[0，$\frac{π}{2}$]，β∈[π，$\frac{3π}{2}$]，f（3α+$\frac{π}{2}$）=$\frac{10}{13}$，f（3β+2π）=-$\frac{6}{5}$，求sin（α+β）的值．

Answer 1

分析 （1）直接利用函數(shù)的解析式求解函數(shù)值即可．
（2）利用已知條件求出α，β正弦函數(shù)與余弦函數(shù)值，利用兩角和與差的三角函數(shù)求解即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=2sin（$\frac{1}{3}$x-$\frac{π}{6}$），x∈R，f（0）=2sin（$\frac{1}{3}$×0-$\frac{π}{6}$）=-1；
（2）f（3α+$\frac{π}{2}$）=2sin[$\frac{1}{3}$（3α+$\frac{π}{2}$）-$\frac{π}{6}$]=2sinα=$\frac{10}{13}$，∴sinα=$\frac{5}{13}$．
f（3β+2π）=2sin[$\frac{1}{3}$（3β+2π）-$\frac{π}{6}$]=2sin（$β+\frac{π}{2}$）=-$\frac{6}{5}$，∴cosβ=$-\frac{3}{5}$．
∵α∈[0，$\frac{π}{2}$]，β∈[π，$\frac{3π}{2}$]，∴cosα=$\sqrt{1-si{n}^{2}α}$=$\frac{12}{13}$，sinβ=-$\sqrt{1-co{s}^{2}β}$=-$\frac{4}{5}$．
∴sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=$\frac{5}{13}×（-\frac{3}{5}）+\frac{12}{13}×（-\frac{4}{5}）$=$-\frac{63}{65}$．

點評 本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．